Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
7.11. Определение. Пусть i: S)(R")—±ofn—тождественное отображение. Если L—непрерывный линейный функционал на с?п, то положим
(1) Ul = Lo L
Из непрерывности отображения і (теорема 7.10) вытекает, что uL G S)' (R'1). Так как подпространство S) (R") плотно в Sfn, то два различных функционала L не могут приводить к одному и тому же и. Таким образом, формула (1) описывает изоморфизм между векторным пространством SPn, сопряженным к of п, с одной стороны, и некоторым пространством распределений — с другой. Возникающие так распределения называются медленно растущими (или умеренными).
Итак, медленно растущие распределения суть в точности те функционалы и G S)' (R"), которые обладают непрерывным расширением на пространство ^fn.
В свете предыдущих замечаний удобно и естественно отождествить uL с L. Медленно растущие распределения на R" при этом оказываются в точности элементами пространства &'п.
Следующие примеры призваны объяснить использование здесь термина «медленно растущий», который указывает на ограничение роста на бесконечности. (См. также упр. 3.)
7.12. Примеры, (а) Каждое распределение с компактным носителем является медленно растущим. Пусть К — компактный носитель некоторого распределения и G S)' (R"). Выберем такую функцию XpGS)(R"), что \р=\ на некотором открытом множестве, содержащем К, и положим
(1) и([) = иШ) (/€^„).
Если /,•—>O в afn, то для всех производных имеем Da//—>0 равномерно на R". Поэтому Da (ipf,) —> 0 равномерно на R", так что Vj)/,.—>O в S)(R"). Отсюда вытекает, что функционал и непрерывен
на ofn. Так как и(у) = и(ц>) для всех (p6^(R")» то и осуществляет нужное расширение функционала и.
(Ь) Пусть \к—такая положительная борелевская мера на R", что
<2) S (1 + |л:|2)-Мц,(л;)<оо
при некотором целом положительном k. Тогда р—медленно растущее распределение. Более точно, утверждение состоит в том, что
202 часть 2. распределения и преобразование фурье
формула
(3) Af - J №
определяет непрерывный линейный функционал на &
Чтобы установить это, предположим, что —>O в ?fn. Тогда?
(4) е,= sup(l+|х |")*|/,-(*) 1 — 0.
X Є R"
Так как |Л/,-| не более чем в є,- раз превосходит интеграл (2),. то Л/г-—>0. Тем самым доказана непрерывность функционала Л.
(c) Предположим, что 1<!р<оо, /V* > 0, и пусть g—такая измеримая функция на R", для которой
(5) $10 + 1* \a)-"g (X) I" dmn {X) = С < оо.
Тогда g—медленно растущее распределение. Как и в случае (Ь), положим
(6) Af=]fgdmn.
rn
Допустим сначала, что р> 1, и обозначим через q сопряженный показатель. Тогда, согласно неравенству Гёльдера,
(7) I Af |<С"' J J I (1 +1x|*)"/ (а:) \*dmn (х)р<
^Cl'PB*'« sup |(1+H2)M/(*)|,
л; eR"
где столь велико, что
S (І+И2)^-^dm,, (*) = #< °с
R"
Неравенством (7) установлена непрерывность на Sfn функционала Л-Случай р=-1 еще проще.
(d) Из (с) вытекает, что каждая функция g?L? (Rn) (1 ^ р ^оо) является медленно растущим распределением. Таким распределением является также любой полином и вообще любая измеримая функция, абсолютная величина которой оценивается полипомом».
7.13. Теорема. Если а — произвольный мультииндекс, P—произвольный полином, g€cfH и и — произвольное, медленно растущее-распределение, то распределения Dau, Pu и gu также являются медленно растущими.
гл. 7. преобразование фурье
203
Доказательство. Это непосредственно вытекает из утверждения (Ь) теоремы 7.4 и определений:
(D«и) (/) = (-1)1 «1«(D«/), (Pu)(I) = U(Pf)1 (gu)(f) = u(gf). Ш
7.14. Определение. Если и^^'п* то мы полагаем
(1) Й(<р) = и(ф) (ф€<^я).
Так как ф —> ф есть непрерывное линейное отображение пространства if п в if п (утверждение (d) теоремы 7.4) и так как функцио-
.нал и непрерывен па if п, то и ? if'n.
Тем самым мы сопоставили каждому медленно растущему рас-
пределению и его преобразование Фурье и, которое снова является медленно растущим распределением. Наша следующая теорема покажет, что формальные свойства преобразований Фурье быстро убывающих функций распространяются и на более общий случай медленно растущих распределений.
Сначала, однако, надлежит разрешить возникающую здесь проблему согласования. Если /G^(R"), то / можно рассматривать как медленно растущее распределение, скажем uf. Поэтому появляется возможность употреблять два определения преобразования Фурье, а именно определение (с) из п. 7.1 и определение 7.14. Вопрос состоит в том, совпадают ли эти два определения, т. е.
будет ли распределение («/)" соответствовать функции /. Ответ оказывается положительным, поскольку
(ufY (ф) = М/(ср)= I /ср = $/ф = (ы^) (ф)
.для любой функции ф G if п- Третье из этих равенств равносильно тождеству (3) из п. 7.7, а остальные суть определения.
Поскольку L2 (Rn) cz аҐп, тот же вопрос возникает и в отношении преобразования Фурье—Плапшереля. Здесь снова ответ положительный, и доказательство сохраняется, так как тождество
/ф=^/ф остается справедливым для любых /^L2 (R") и cp(E<#V
7.15. Теорема, (а) Преобразование Фурье является непрерывным линейным взаимно однозначным отображением периода 4 пространства if'n на if'n, и обратное отображение также непрерывно.
