Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
IЛФI = IЛ (яр/р) |< C1 II 4v<p И T]CC1 Il яр їй.
Но т] может быть любым положительным числом, так что Лф = 0, если выполняется условие (3).
Другими словами, распределение Л исчезает на пересечении ядер функционалов Da60(|a|^A^), так как
(11) (О«б0)(ф) = (-1)1«160(О«Ф) = (-1)1«1 (Я«<р)(0).
Поэтому существование представления вида (1) вытекает из леммы 3.9. H
Распределения как производные
Во введении к данной главе отмечалось, что одной из целей теории распределений является такое расширение понятия функции, при котором операции дифференцирования становятся выполнимыми без всяких ограничений. Эта цель уже достигнута. Обратно, как мы теперь покажем, каждое распределение представляется (по крайней мере локально) в виде Daf, где / — непрерывная функция и а — мультииндекс. Таким образом, рассматривая всевозможные производные от всевозможных непрерывных функций, мы получим не что иное, как класс всех распределений, и в этом смысле класс распределений представляет собой наиболее экономное расширение класса функций, отвечающее поставленной цели.
6.26. Теорема. Пусть А ? Ш (Q) и К—компактное подмно-окество в Q. Тогда существуют такая непрерывная функция f
178
часть 2. распределения и преобразование фурье
в Q и такой мультииндекс а, что
(1) Лф = (—1)1 a I J / (х) (?>аф) (х) dx для всех ф G S) к.
Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что /CcQ, где Q — единичный куб в состоящий из всех таких точек X = (X1, Xn), для которых 0^X[^. 1
при і = 1, ..., п. Из теоремы о среднем вытекает, что при каждом 1 = 1, ..., п
(2) I Ip |< max I (ОД) (j:) I (гр GS)Q).
Пусть T = D1D2... Dn. Для каждой точки # ? Q обозначим через Q (у) подмножество тех точек XGQ, для которых X;^.У; (1 ^n). Тогда
(3) Ц(У)= I (Txp)(x)dx (^?).
Q (У)
Пусть N—неотрицательное целое число. Если применить неравенство (2) к последовательным производным функции ар, то формула (3) приводит к неравенству
(4) И 4P \\N < max I (ГЛ'ф) (*) |< $ | рт+Чр) (х) \ dx,
справедливому для всех тр ? S)Q.
Так как A€®'(?)i то существуют такие N и С, что
(5) ІЛфКСНфИл, (^ G S) к). Поэтому неравенство (4) показывает, что
(6) і Лф I < С J I (7^+Чр) (х)| rfx (ф G S)K).
к
Из формулы (3) вытекает, что отображение T инъективно на S)q, а потому и па S)к. Следовательно, и отображение ^iV+i . єр^—>S)K инъективно. Поэтому на образе Y отображения TjV+1 можно определить функционал A1, полагая
(7) A1^+Up = Лф (WGS)K), причем перавснство (6) показывает, чго
(8) IA1IPK С J I ip (х) \dx (X[GY).
к
Последнее позволяет при помощи теоремы Хана—Банаха расширить функционал A1 до ограниченного линейного функционала на пространстве L1 (К). Другими словами, существует такая
гл. 6. пробные функции и распределения
179
ограниченная борелевская функция g на К, что
(9) Аср=А1Глг+1ф = \g(x) (TN+1cp) (X) dx (фЄЗД-
к
Положим g(x) = 0 вне К, и пусть
Ut "ті
(Ю) /(0)=$..- $ d*i (y€R").
— зо — ао
Тогда функция / непрерывна, и n-кратное интегрирование по частям в сочетании с (9) дает
(11) Аф ¦-= (-1)" J / {X) (Т«+*<р) (X) dx (ср G ®к).
Но последняя формула совпадет с формулой (1), если положить OC = (N-\-2, N +2) и в случае необходимости изменить знак. Щ
Для распределений А с компактным носителем полученный выше локальный результат превращается в следующий глобальный.
6.27. Теорема. Пусть К—компакт, а V и Q—открытые множества в причем К cz V cz Q. Предположим далее, что AGS)' (Q), что К есть носитель распределения А и что А имеет порядок N. Тогда существует конечное число таких непрерывных функций f$ в Q (по одной для каждого мультииндекса ? с fi^N 4-2, где 1 = 1, . •., п) с носителями в V, что
(1) A=%D%.
Производные здесь, конечно, следует понимать в смысле распределений, и формула (1) означает, что
(2) А ср = 2 (-1 )i P I [ f р (x) (D? ф) (.v) dx (ф G ® (Q)) •
Q
Доказательство. Выберем такое открытое множество W с компактным замыканием W, что К cz W и W cz V. Применим теорему 6.20 к компакту W вместо К. Положим a = (N4-2, ...
N4-2). Из доказательства теоремы 6.26 вытекает существование такой непрерывной функции / на Q, что
<3) Аф = (—1)'а I J / (х) (D«cp) (X) dx [ф G S) (W)].
Q
Не нарушая соотношения (3), мы можем умножить функцию / на любую непрерывную функцию с носителем в V, равную 1
па W.
180
часть 2. распределения и преобразование фурье
Фиксируем такую функцию ap?.<S)(Q) с носителем в W, что яр=1 на некотором открытом множестве, содержащем /С- Из формулы (3) следует, что тогда для всех ф ? S) (Q)
Лф Л(фф) = ( — 1)>а I (ярф) =
Q
= (-1)1 al \f S Сар^-Р^ф.
u ? < а
По это совпадает с (2), если положить
/р=(—1)і°-ВісарЛ0°-Єії (Р<а). ¦
Наша следующая теорема описывает глобальную структуру распределений.
6.28. Теорема. Пусть A^S)' (Q). Тогда существуют такие непрерывные функции ga в Q, по одной для каждого мультиин-декса а, что
(a) каждый компакт К cr Q пересекается не более чем с конечным числом носителей функций ga и
(b) A = %D"ga.
а
Если распределение А имеет конечный порядок, то функции ga могут быть выбраны с таким расчетом, чтобы лишь конечное число из них были ненулевыми.
