Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
g = 0, очевидно, приводит Kg = O. Согласно той же формуле,
(6) Ф2?=?,
где, как и раньше, g(x) = g(—л:). Поэтому Q)^g = g. Отсюда вытекает, что Ф отображает ^fn на все &„. Непрерывность отображения Ф уже доказана в теореме 7.4. Для доказательства непрерывности обратного отображения теперь можно либо сослаться на теорему об открытом отображении (на теорему о замкнутом графике), либо воспользоваться тем фактом, что Ф-1 — Ф3.
Для доказательства утверждения (с) мы вернемся к тождеству (3), где будем считать gG<&Если подставить формулу обращения (1) в формулу (3) и применить теорему Фубиии, то» мы получим
(7) I fogdmti=lfgdmn (g €<*>„)-
R" R"
Согласно утверждению (Ь), функции g пробегают все пространство <Уп. Так как S) {\Kn)czof п, то из (7) вытекает, что
(8) \ (/0-/)<рЖпя=-0
для каждого ф(Е-^^и). а потому (ввиду возможности равномерной аппроксимации, описанной в упр. 1 гл. 6) и для каждой:
гл. 7. преобразование фурье 199
непрерывной функции ф с компактным носителем. Отсюда следует, что f0—f = 0 почти всюду. Щ
7.8. Теорема. Если f Є of п и g? cfn, то
(a) f*g€STn и
(b) №УЧ*І
.Доказательство. В силу утверждения (с) теоремы 7.2
имеем (f*g)~—fg, или, если использовать обозначение из доказательства утверждения (Ь) теоремы 7.7,
(1) Ф(/«^Ф/%
Если заменить в формуле (1) функции / и g на / и g, то получится
(2) Ф Cf # g) = Q>2f.Q>2g = ]g = (fe) ~ = Ф2 (fe) -Применяя к обеим частям равенства (2) оператор Ф-1, мы получаем (Ь). Заметим, что fg^^n. Поэтому из (Ь) вытекает, что f*g?<&'n- Но это приводит к утверждению (а), так как преобразование Фурье отображает Jfn на ?fn. H
7.9. Теорема Планшереля. Существует линейная изометрия *Р пространства L2 (R") на L2 (R"), которая однозначно определяется условием
Wf = f для каждого f ? с5"„.
Заметим, что равенство Wf = f продолжается с tfn на L1HL2, поскольку ?Рп плотно и в L1, и в ZA Поэтому результат можно резюмировать следующим образом. Отображение 1F определено
всюду на L2, преобразование / было определено в п. 7.1 для всех f^L1; на общей области определения имеем 1Pf = J. Таким образом, оператор W служит расширением преобразования Фурье с L1HL2 на L2. Это расширение W по-прежнему называется преобразованием Фурье (иногда—преобразованием Фурье—Планше-
реля), и обозначение f используется вместо 1Pf для всех / ? L2 (R").
Доказательство. Если fug принадлежат <SPnt то, согласно -теореме обращения,
S Wmn= J g(X)Omn(X) \ f(t)e{*-tdmn(l) =
R* R" R"
= $ f(t)dmn(t) \ g(x)e^dmn(x).
R" R"
Последний внутренний интеграл представляет функцию, комплексно сопряженную к g(t). Тем самым мы получаем формулу Парсеваля
(1) S fgdmn= S /^m„ (f.gS&n).
R" R»
200
часть 2. распределения и преобразование фурье
При g = f формула (1) сводится к формуле
(2) Il /||я = II? ||2 (/<Е<П)-
Заметим, что подпространство of п плотно в L2 (R") (по тем" же соображениям, по которым оно плотно в L1 (R")). Таким обра-
зом, формула (2) показывает, что отображение /—>f представляет собой изометрию (в ?2-метрике) плотного в L2 (R") подпространства ofn на of п. [Тот факт, что образом служит все of„, вытекает из теоремы обращения.] Из элементарных соображений метрического характера теперь следует, что отображение /—>f обладает
однозначно определенным непрерывным расширением W: L2 (R")—> —>/J(R") и что 1P является линейной изометрией на все L2 (R"). Некоторые подробности см. в упр. 13. Ц
Стоит отметить, что формула Парсеваля (1) остается справедливой при произвольных / и g из L2 (R").
Тот факт, что преобразование Фурье осуществляет /^-изометрию, является одним из его наиболее важных характерных свойств-
Медленно растущие распределения
Прежде чем давать определение медленно растущих (умеренных) распределений, мы установим следующее соотношение между пространствами ^fn и S) (Rn).
7.10. Теорема, (а) Подпространство S(R") плотно в ofn. (b) Тождественное отображение подпространства S(Rn)> в of п непрерывно.
В этих утверждениях речь идет, конечно, об исходных топологиях в S)(R") и afrn описанных в п. 6.3 и 7.3.
Доказательство, (а) Пусть / Z^n и tyZS) (R"), причем, •ф—1 на единичном шаре пространства R". Положим
(1) fr (X) =f (х) я|з (rx) (X Є Rn, г> 0).
Тогда fr?S(Rn). Если P—любой полипом, а а—любой мульти-индекс, то
P(x)D"(f — f,)(x)^P(x) 2 Сар (D^f) (X) rl?lD? [І—ф(гд)].
0< а
Из нашего выбора функции \\> вытекает, что DP[I—яр (rx)] — 0 при IX 1^1//* для любого мультииидекса ?. Так как fZ<?nt то P-Da_?/ ? C0 (R") для всех ?^a. Отсюда следует, что последняя, сумма стремится к нулю равномерно на R" при г—> (). Таким образом, /,.—>/ в Zfn, и утверждение (а) доказано.
(Ь) Если К—произвольный компакт из R", то топология, индуцированная на SK пространством ^fn, очевидно, совпадает с
гл. 7. преобразование фурье
201
исходной (описанной в п. 1.46), поскольку каждая из функций (1 + 1^12)^ ограничена на К. Поэтому тождественное вложение подпространства S) к в Jfn непрерывно (на самом деле оно является гомеоморфизмом), и утверждение (Ь) теперь вытекает из теоремы 6.6. в
