Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Из доказательства утверждения (Ь) теоремы 6.33 видно, что это распределение, которое мы будем обозначать через и ко, связано с L формулой
(2) Lcp = (и * V) * ср (ср ? S)).
Другими словами, распределение иxv?S)' характеризуется соотношением
(3) (и * V) * ср = и * (и х ср) (ср ? S)).
6.37. Теорема. Пусть и?3)', v?3)' и w?3)'.
(a) Если хотя бы одно из распределений и, v имеет компактный носитель, то u*v = v%и.
(b) Если S0 и Sv—носители распределений и и v и если хотя бы один из них компактен, то
S u*ticS« -f- Sv
(c) Если по крайней мере два из носителей S11, Sv, Sw компактны, то (и * о) XW = U* (V xw).
(d) Если 6—мера Дирака и а—любой мультииндекс, то
Dau = (Dab)xu.
В частности, и = Ьхи.
(e) Если хотя бы одно из' множеств Su, Sv компактно, то
Da {и х V) = (Dau) XV = Ux (Dav) для любого мультииндекса а.
гл. 6. пробные функции и распределения
187
Примечание. Выполнение закона ассоциативности (с) существенно зависит от сделанных предположений; см. упр. 24.
Доказательство, (а) Фиксируем элементы ср?& и яр?S). Так как свертка функций коммутативна, то утверждение (с) теоремы 6.30 дает
(и * и) * (ср * яр) = и * (v * (ср * яр)) = и * ((и * ср)'*я|)) = и * (яр * (v * ср)).
Если компактно множество Svt то снова применим утверждение (с) теоремы 6.30; если компактно множество Su, то применим утверждение (d) теоремы 6.35. В любом случае получаем
(1) (и * V) * (ф * яр) = (и * яр) * (у * ф). Так как ф «. -ф = -ф «• ф, то те же выкладки дают
(2) {V* и)*(ф*яр) = (у*ф) *(м*яр).
Правые части равенств (1) и (2) представляют собой свертки функций (одна из которых принадлежит S)1 а другая С00). Поэтому они совпадают. Таким образом,
(3) ((и * v) * ф) * яр = (( V * w) «• ф) * яр.
Теперь, дважды применяя соображения единственности, использованные в конце доказательства теоремы 6.33, получаем w*u = y*w..
(b) Если ф?і2>, то непосредственное вычисление дает
(4) (w * v) *ф = w ((v*ср)").
Согласно утверждению (а), мы можем без ограничения общности считать, что множество Sv компактно. Из доказательства утверждения (с) теоремы 6.35 видно, что носитель функции u-x-ф содержится в Sv—5Ф. Из равенства (4) ясно, что (и * v) (ф) = 0, если Sa не пересекается с 5Ф—Sv, т.е. если 5Ф не пересекается с Sn + Sv.
(c) Из утверждения (Ь) следует, что свертки
(и * v) * W и ««• (у «¦ до)
определены, если хотя бы два из множеств Su, Sv, Sw компактны.. Если срЄ®, то непосредственно по определению 6.36 имеем
(5) (и * (и * до)) * ср = U * ((V * ДО) * ф) = и * (и * (до * ф)).
Если Sw компактно, то
(6) ((и X V) * до) * ф = (w # и) * (до * ф) = w «- (и * (до * ф)),
поскольку до -х- ф G S) в силу утверждения (с) теоремы 6.35. Сопоставление равенств (5) и (6) дает (с) в предположении, что Sw компактно.
Если 5да не компактно, то компактно S11. Поэтому уже рассмотренный случай вместе с установленной в (а) коммутатив-
188
часть 2. распределения и преобразование фурье
ностью даст
и * (и «• w) = и * (а> * и) = (до * у) * « =
= до * (v * u) = до * (и * и) = (и * v) * до. (d) Если ср^^5, то Л*ф = ф, поскольку
(б * ф) (*) = б (тхф) = (t^) (0) = ф (— *) = ф (х) (X ^R»).
Поэтому уже доказанное утверждение (с) в сочетании с утверждением (Ь) теоремы 6.30 дает
(Dau) * ф = и -х- Daq> = u*Da@ х- ф) = и * (Da6) * ф.
Наконец, утверждение (е) вытекает из (d), (с) и (а), ибо Da (и * V) - (Dao) * (и * u) = ((Da6) -х- ы) * у = (Dau) * и
и
((D"-b) * и) * i> = (ы * Da6) X-U = W* ((Da6) * V) = w * DrV |
Упражнения
1. Пусть / — комплексная непрерывная функция на R" с компактным носителем. Доказать, что \\Рj—> f равномерно на R", где яр ? Jg) и {Pj] — подходящая последовательность полиномов.
2. Показать, что метризусмая топология на S (Й). от которой мы отказались в п. 6.2, не является полной ни для какого Q.
3. Пусть E—произвольное замкнутое подмножество в R". Доказать существование такой функции / Z С°° (R'1), что /(*) = () для каждого х Z ? ¦и / (х) > 0 для всех остальных R".
4. Пусть A^S)'(Q) и Лф^О, если <f>ZS(Q) и ф;>0. Доказать, что тогда Л—положительная мера на Q (конечная на всех компактных подмножествах).
5. Доказать, что числа ca? в формуле Лейбница имеют следующее явное выражение:
Л I
с ^TT "і"1
ѫРIl ?,-! (аі—р,)Г
6. (а) Пусть ст = ехр { — (m!)!}, т = 0, 1, 2, ... . Верно ли, что ряд
ос
S С>п (°)
т = 0
сходится для каждого ф?С°° (R)?
(b) Пусть ІІ — открытое множество в R". Предположим, что AiZS' (Q) и что носители всех распределений Л, содержатся в некотором фиксированном компакте К С І2. Доказать, что если последовательность {Л/} сходится и S' (Я), то порядки распределений Л/ ограничены в совокупности. Указание: воспользуйтесь теоремой Банаха — Штейнгауза.
(c) Можно ли в утверждении (Ь) опустить предположение относительно носителей?
гл.6. пробные функции и распределения
189
7. Пусть Q = (O, оо). Положим
30
m= i ^ 1
Доказать, что Л—распределение бесконечного порядка в й. Доказать, что распределение Л нельзя продолжить до распределения в R. Последнее означает, что не существует такого распределения Л0GS)' (R). что A0 = Л в Q.
