Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(Ь) Если u?if'n и P—любой полином, то
(P(D)uY=Pu и (PuY = P (—D) и.
Отметим, что эти утверждения аналогичны утверждениям (Ь) теоремы 7.7 и (с) теоремы 7.4. В утверждении (а) имеется в виду слабая* топология, которая порождается на if'n пространством if п*
204 часть 2. распределения и преобразование фурье
Заметим еще, что дифференциальные операторы P (D) и P (—D} определяются при помощи Da, а не Da (см. (d) в п. 7.1).
Доказательство. Пусть W — некоторая окрестность точки G) в &"п. Тогда найдутся такие функции Cp1, фА?сУп, что
(1) {«6^: |и(фЛ<1 при Ki<?}c?P. Положим
(2) V= ^;: 1«(Cp1OK 1 при Kt<?}. Тогда V есть окрестность точки 0 в cf'n, и, поскольку
(3) и(ф) = и(ч>) (ф€<П, "Є<П),
мы видим, что ы? №, если «^V. Тем самым доказана непрерывность отображения Ф, где Фи = и. Поскольку Ф обладает периодом 4 на ifn, соотношение (3) показывает, что Ф обладает периодом 4 и на <&"п, т.е. что Q)iu = u для каждого и (Е<^„. Поэтому Ф осуществляет взаимно однозначное отображение на все пространство, а так как Ф-1 = Ф3, то отображение Ф-1 непрерывно.
Утверждение (Ь) получается из утверждения (с) теоремы 7.4 и теоремы 7.13 при помощи соотношений
(P (D) иУ (ср) = (P (D) и) (ф) = и (P (-D)) ф) = = и((Р(рУ) = и (Py) = (Pu) (ср)
и
(P (-D) U) (ф) = U(P (D) ц>) = и ((P (D) фП = = и (P^) = (Pu) (у) ^(РиГу,
где ср—произвольная функция из Zfn. Щ
7.16. Примеры. В п. 7.12 (d) мы отмечали, что полиномыг представляют собой медленно растущие распределения. Их преобразования Фурье легко подсчитать. Начнем с полинома 1. Рассматриваемый в качестве распределения, он действует на пробную» функцию ф по формуле
(1) 1(ф)= J 1фЖя„= $ф^т„. Поэтому
(2) 1 (ф) = 1 (ф) = J idmn = ф (0) = б (ф),
Rn
где б—мера Дирака на Аналогично
(3) б (ф) = б (ф) = ф (0) = J <$dmn = 1 (ф).
гл. 7. преобразование фурье 205
Формулы (2) и (3) означают, что
(4) 1=6 и 6 = 1.
Если использовать эти результаты и применить утверждение (Ь) теоремы 7.15 с и = 0 и и=\, то мы получим, что для любого полинома P на R'2
(5) (P(D)Oy=P и P = P (—D) 6.
Формулы (4) (равно как и формулы (5)) могут быть получены одна из другой при помощи теоремы обращения, которая для медленно растущих распределений формулируется так:
Если и ?&7'п, то (и)~~и, где и определяется равенством
(6) и(Ф)=«(Ф) (Ф
Доказательство тривиально: согласно утверждению (а) теоремы 7.7, имеем (ф)"=ср, так что
(и)Л (ф) = й (ф) = и ((ф) ~) = и (ф) = и (ф).
Заметим, что 6 = 6.
Сопоставляя соотношения (5) с теоремой 6.25, мы получаем, что распределение тогда и только тогда является преобразованием Фурье полинома, когда носителем этого распределения служит начало координат (или пустое множество).
Следующая лемма потребуется в доказательстве теоремы 7.19. Аналогичное утверждение с заменой пространства ofп на S)(R'1) гораздо более очевидно и уже использовалось без всяких оговорок в доказательстве теоремы 6.30.
7.17. Лемма. Пусть W = (I, 0, ..0)6R" и Фб^и. Если
(1) ftM = !SAlu! (*€R«, е>0),
то фе—ду/дхх—»0 в топологии пространства Zfn при є—>0.
Доказательство. Утверждение будет установлено, если показать, что преобразование Фурье функции фе—dq>/dxL стремится к 0 в ofп, т.е. что
(2) Феф—в Sfn при е—>O1 где
(3) (у) = (у-1 _iyt {у € R», е > 0).
Если P—произвольный полином и а—любой мультииндекс,
(4) P-Da(%i)= 2 capP.(D«-^).(DV
206
часть 2. распределения и преобразование фурье
Простое вычисление показывает, что
feyl, если |? 1 = 0, (5) I Dfye (0) КI 8 если IPI=1.
(8'¦Pl-1, ЄСЛИ |Р|> 1.
Поэтому левая часть в (4) стремится к 0 равномерно на R'2 при є—>0. Определение топологии в ofn (п. 7.3) теперь показывает, что соотношение (2) выполняется. ggj
7.18. Определение. Если и G и ф?сУ„, то
(и * ф) (х) = U (тхф) (x(ER").
Заметим, что определение корректно, поскольку т^фЄ^ при каждом ф G Sfn.
7.19. Теорема. Пусть q>G?fn и и—медленно растущее распределение. Тогда
(a) ы*ф?С°°^и) и
Da (и * Ф) = (D00U) * ф = и * (Оаф)
Оля любого мультииндекса а;
(b) функция «*ф растет не быстрее полинома и, следовательно, является медленно растущим распределением;
(c) (и*ф)А = фи;
(d) (м * ф) «• \\> = и * (ф * -ф) для каждого яр ^
(Є) « X- ф= (фы)~.
Доказательство. Второе равенство в утверждении (а) доказывается точно так же, как в теореме 6.30, поскольку свертка по-прежнему коммутирует со сдвигами. Кроме того, по той же причине
(1) (325T=22) ("»?)=^(1=^) Ф-
Теперь лемма 7.17 позволяет утверждать, что D* (и * ф) = и * (?>аф), если а = (1, 0, .... 0). Итерируя этот частный случай, мы получаем (а) в полном объеме.
Пусть Pn(J) для' [G^n обозначает норму (1) из п. 7.3. Неравенство
(2) 1-И* + ?/|2<2(1-Нх|2)(1-Ну|2) (x,y?Ra) показывает, что
(3) Pn (tJ) < 2» (1 +1X \*)NpN (J) (х GRn,fG &п).
Так как и есть непрерывный линейный функционал на пространстве ??к и так как нормы pN определяют топологию этого про-
гл. 7. преобразование фурье
207
странства, то найдутся такие N и С < оо, что
(4) \u(f)\^CpN(f) (f Є Pn); см. упр. 8 в гл. 1. Согласно (3) и (4), имеем
