Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 74

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 171 >> Следующая

/-> Pf, f — gf, / — Ах/
представляет собой непрерывное линейное отображение пространства оТп в of'„.
(c) Если f ^LGfn и P—полином, то
{P[D)JY = Pf и (Я/Г = P (-D)/.
((1) Преобразование Фурье осуществляет непрерывное линейное отображение пространства of п в ofn.
Утверждение (d) будет усилено в теореме 7.7.
Доказательство, (а) Предположим, что {/,} — последовательность Коши в of п. Тогда при і—> оо для каждой пары муль-гииндексов а и ? функции х$EP^f1 (х) сходятся (равномерно на R") к некоторым ограниченным функциям ga?. Ясно, что
ga» (X)= D^g00 (X),
и поэтому /,-—> g0(j в ofn. Таким образом, ^fn полно.
(b) Очевидно, что если f то Daf^ufn, и поэтому, в силу формулы Лейбница, Pf и gf также содержатся в ofn. Непрерывность всех трех отображений есть простое следствие теоремы о замкнутом графике.
(c) Если ЇЄ&п, то, согласно утверждению (Ь), и P(D)f при» надлежит этому пространству. Кроме того,
(P(D)f)*ei = f*P(D)e1--f*P(t)et = P(t)\f«et].
Беря значения этих функций в начале координат пространства R", мы получим первую часть утверждения (с), а именно
(P(D) fV(t)-P(t)f(t).
Если t = (tu ...,tn) и ^ = (Z1 + «, t2, ...,ttl), где еФО, то
fit')—fit) Г і, ч е~іх^-\ ixiA .. V = J xj (X) —-е-1*-* dmn (X),
R"
196 часть 2. распределения и преобразование фурье
Так как xyf 6 L1, то применима теорема Лебега, и мы получаем -TWJW = I M e~ix'idmn ix).
Этим доказана вторая часть утверждения (с) в частном случае P[X)=X1. Общий случай сводится к данному путем итераций.
(d) Пусть f$&>„ и g(x) = (—1)1 «!*«/(*). Тогда g??n. Из утверждения (с) теперь вытекает, что g = Daf и P ¦DaJ = = P-g = (P (D) gY, причем эти функции являются ограниченными, поскольку P (D)g Є L1 (R"). Следовательно, /6<^„. Если ft—>-/ в tfn, то fi—+f в L1 (R"). Поэтому //(О—»¦/(O при всех *?R". Тот факт, что отображение /—»-/ является непрерывным отображением пространства ?fn в ^n, вытекает теперь из теоремы о замкнутом графике. Щ
7.5. Теорема. Если /6Z^(R"), mo /^C0(R") и || f |U<||/
Здесь C0(R")—банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на R", стремящихся к нулю на бесконечности, с suр-нормой.
Доказательство. Так как | et (х) \ = 1, то ясно, что
(1) 1/(OKIIZII1 (/€/Л *€RB).
Поскольку S) (R")а<ї?п, of п плотно в U (R"). Поэтому каждой функции /^L1 (R") соответствует такая последовательность функций fi?cfn, что И/—/,-Hi—>O. Так как J1Є^nCzC0 (R") и так как
из (1) вытекает, что /,•—>f равномерно на R", то доказательство завершено. Щ
Следующая лемма используется при доказательстве теоремы обращения. Она зависит от особенностей нормировки, выбранной для тп.
7.6. Лемма. Если функция ср„ на R" определена равенством
(1) фл*)=схр j-4-м2}'
то ф„е:сУ„, ф«=ф„ и
(2) ф„ (0) = J cpndm„.
R"
Доказательство. Ясно, что ф„€^и. Так как функция q>t удовлетворяет дифференциальному уравнению
<3) !/+ху = 09
гл. 7. преобразование фурье 197
R "
(b) Преобразование Фурье является непрерывным линейным взаимно однозначным отображением пространства &п на ^fn ? периодом 4, и обратное отображение также непрерывно.
(c) Если /^Li(R"), L1 (R») и
<(2) fu(x)=\ fexdmn (X?R»),
R"
jno f (x) = f0(x) для почти всех x(tRn.
Доказательство. Если fug содержатся в P(R"), то je двойному интегралу
S S / (X) g (У) е-'*«dm„ (X) dm„ (у)
R" R"
применима теорема Фубини, которая приводит к тождеству (3) S fgdmn = \ fgdmn.
R" R"
Для доказательства утверждения (а) возьмем gZ<^n, ф€<^« я положим f (x) = q>(x?)t где X > 0. Тождество (3) в силу утверждения (d) теоремы 7.2 приводит к соотношению
I g (0 *ВФ (M) <К (0 = J ф (I) g (у) dmn (у),
R" R"
то, как показывает простое вычисление (или утверждение (с) теоремы 7.4), функция Cp1 также удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Следовательно, Фі/фч — константа. Но, поскольку фг (0) == i и
«>
«P1(O) = [Cp1Jm1--^— J expj — -i*a|d* = l,
R -=оо
мы заключаем, что Фі=ф!. Далее,
<4) Фп (х) = ф! (X1) ... фх (*и) (* € R"),
так что
<5) Ф«(O = Vi(^i) •.•Vi(U (*€Ra)-
Отсюда следует, что фя = ф„ при всех /г. Так как, по определению, ф„ (0) = j qndmn и фп=ф„, мы получаем равенство (2). Щ
7.7. Теорема обращения, (а) Если g то
<{1) g (х) $ gex dmn (xZRn).
198
часть 2. распределения и преобразование фурье
или
(4) 18 (т)* W rfm» W = J ф (х) * ДО dm» ДО-
R" R"
Если я—»-Co, то g(t/X)—>g(0) и ф(^А)—»-ф(0), причем допредельные функции ограничены в совокупности. Поэтому к обоим-интегралам в равенстве (4) применима теорема Лебега. В результате получается, что
(5) g(0) J <?dmn=<p(0) J gdmn.
Rw R"
Если в качестве ф использовать функцию ф„ из леммы 7.6, то> соотношение (5) приведет к формуле обращения (1) для случая. х = 0. Общий случай выводится из этого, поскольку в силу-утверждения (а) теоремы 7.2
g(x) = (T_xg)(0)= J (i-xgY dmn = ) gexdmn.
R" R"
Тем самым полностью доказано утверждение (а).
Для доказательства утверждения (Ь) введем временно обозначение CDg = g. Формула обращения (1) показывает, что отображение Ф является инъективным на ofn, поскольку равенство»
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed