Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Всюду в дальнейшем символ S) (Q) обозначает только что описанное топологическое векторное пространство (SD(Q), т). Все топологические понятия, касающиеся пространства S)(Q), относятся к топологии т.
6.5. Теорема, (а) Выпуклое уравновешенное подмножество V пространства .©(Q) тогда и только тогда открыто, когда V(E?«
(b) Топология їк каждого из пространств S)Ka S) (Q) совпадает с топологией, индуцированной на S) к топологией S) (Q).
(c) Если E—ограниченное подмножество в S)(Q), то Ecz к при некотором /-CcQ и, кроме того, существуют такие числа MN<.oo, что каждое q>GE удовлетворяет неравенствам
IMbv<My (N = 0, 1,2, ...).
(d) Пространство S)(Q) обладает свойством Гейне—Бореля*
(e) Если {ф,}—последовательность Коши в S) (Q), то {ф,-}сг^>^ для некоторого компакта Kcz Q и, кроме того,
um И Ф,-ФУ IU= О (N=0, 1,2, ...).
(f) Если Cp1-—>0 в топологии пространства S)(Q), то существует такой компакт KczQ, который содержит носители всех
164
часть 2. распределения и преобразование фурье
функций ф,- у, кроме того, ?аф,-—>O равномерно при і—> со для каждого мультииндекса а.
(g) В пространстве S)(Q) каждая последовательность Коши сходится.
Замечание. В силу утверждения (Ь) необходимые условия, заключенные в (с), (е) и (f), являются также и достаточными.-Например, если Ec &),, и || ф \\N^ Mn < со для каждого фЄ?, то E есть ограниченное подмножество в Щк (п. 1.46) и, согласно (b), E есть ограниченное множество в SD(Q).
Доказательство. Пусть сначала F G т. Выберем <р ? S) к П V. По теореме 6.4, ф-f-с V при некотором W ? ?- Следовательно,
ФН (S>KnW)c S>Kr\V.
Поскольку множество S>Kr\W является открытым в S) к, мы доказали, что
(1) ^П^6тА, если У^т и KcQ.
Утверждение (а) прямо вытекает из (1), так как очевидно, что рст.
Соотношением (1) доказана также половина утверждения (Ь). Чтобы доказать вторую половину, предположим, что E ? тк. Мы должны доказать, что E = S)KV\V при некотором V(^ т. Согласно определению тк, каждому элементу ф ? E соответствуют такое N и такое 6 > 0, что
(2) {?€-?: |К-Ф Wn < 6} cz Е. Положим ЦРф = {і|>Є©(Й): И||л,<6[. Тогда И^бр1 и
(3) S) к П (Ч> + Wф) - ф + (®к Г) U7Cp) с= Е.
Если V есть объединение таких множеств Ф+^ср, по одному для каждого ф G Е, то это множество V обладает требуемым свойством.
Для доказательства утверждения (с) рассмотрим некоторое множество EcS)(Q), которое не содержится ни в одном из пространств S)K. Найдутся такая последовательность функций ф,л ? E и такая последовательность различных точек xm?Q, не имеющая в Q предельных точек, что ф,„ (xrn) Ф 0 (т = 1,2,3, ...). Пусть W— множество всех функций ф?<2>((2), удовлетворяющих условию
(4) I Ф (* J I < /л"11 Ф» (хж) I (т = 1, 2, 3, . . .).
Так как каждый компакт /Cd Q содержит не более чем конечное множество точек хгп, то ясно, что S)K[\W G^k- Таким образом, W ?р\ Никакое кратное множества W не может содержать Е, ибо Фот(?тй?. Это показывает, что множество E не является ограниченным.
гл. 6. пробные функции и распределения
165
Из сказанного выше вытекает, что каждое ограниченное множество E из S)(Q) содержится в некотором S)к. Следовательно (см. п. 1.46),
(5) sup {И ф IU: Ф<=?}<°о (Д/=0, 1,2, ...).
Тем самым полностью доказано утверждение (с).
Утверждение (d) вытекает из (с), ибо пространство S)K обладает свойством Гейне — Бореля.
Поскольку последовательности Коши ограничены (см. п. 1.29), из (с) следует, что любая последовательность Коши {ф,} из пространства S(Q) содержится в некотором S)к. В силу (Ь) последовательность {ф,} оказывается тогда последовательностью Коши в топологии т^. Зтим доказано (е).
Утверждение (f) в точности повторяет (е).
Наконец, утверждение (g) вытекает из (Ь), (е) и полноты пространств SK. (Напомним, что S)K является пространством Фреше.) Щ
6.6. Теорема. Пусть А—линейное отображение пространства S(Q) в некоторое локально выпуклое пространство Y. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:
(a) отображение А непрерывно;
(b) отображение А ограничено;
(c) если ф,-—>O в S(Q)1 то Лф,-—> O в Y;
(d) сужение отображения А на каждое из подпространств SKa S (Q) непрерывно.
Доказательство. Импликация (а) =>(Ь) содержится в теореме 1.32.
Предположим, что отображение Л ограничено и что <р,-— в S(Q). По теореме 6.5 тогда ф,-—>0 в некотором SK и, кроме того, сужение отображения Л на это SK является ограниченным отображением. Теперь теорема 1.32 в применении к отображению Л: SK—>Y показывает, что Лф,—в Y. Таким образом, из условия (Ь) вытекает (с).
Предположим, что выполняется условие (с). Пусть {ф,}с: S)к и ф,-—*0 в S)к. Согласно утверждению (Ь) теоремы 6.5, тогда Ф,-—-0 в S(Q). Поэтому из (с) вытекает, что Лф,-—в Y при і—^ со. Следовательно, выполняется условие (d), поскольку пространство SK метризуемо.
Покажем, что условие (а) вытекает из (d). Пусть U— выпуклая уравновешенная окрестность точки 0 в У и V = A-1 (U). Тогда множество V также является выпуклым и уравновешенным. Согласно утверждению (а) теоремы 6.5, множество V тогда и только тогда открыто в S(Q), когда SKf]V открыто в SK при любом Sf1Td S(Q). Это означает, что условия (а) и (d) эквивалентны. Щ
