Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
и |Я,-(г)|<2_/ для всех z G Kt и всех />1. Далее, существует вещественный полином Q на RM, для которого t является точкой пика в том смысле, что Q(r) = l, но |Q(s)|<l» если s^t и Ks?=0. Фиксируем произвольное i> 1. Функции фи, определенные на К формулой
<P»lsf z) =| Q-(s) P1-(Z)I
непрерывны и образуют монотонную (невозрастающую) последовательность, предел которой в каждой точке множества К меньше чем 2~'. Так как К компактно, отсюда следует существование такого номера т0 что ipm,- (st z) < 2~' для всех точек множе-
х) Точнее говоря, сужений таких полиномов на К.— Прим. перев.
140
часть 1. общая теория
ства К. Ряд
f (S9Z) = ^ ^(S)Pi(Z) (Ul1 = I)
і- 1
равномерно сходится на К, так что f?A. Ясно, что ft=gt- В
Две интерполяционные теоремы
В доказательстве первой из этих теорем участвует сопряженный оператор. Вторая же доставляет еще одно приложение теоремы Крейна—Мильмана.
Первая теорема (принадлежащая Бишопу) снова касается С (S). Обозначения здесь те же, что и в теореме 5.7.
5.9. Теорема. Пусть Y—замкнутое подпространство в C(S)7. К—компактное подмножество в S, причем (K)-O для всех-P^K-1-. Если g?C(K) и \g\ < 1, то существует такая функция / 6 К, что f\K=g и I/1< 1 на S.
Таким образом, каждая непрерывная на К функция продолжается до некоторой функции из Y. Иными словами, оператор сужения / —у f\K отображает У на С (/С).
Прототипом этой теоремы послужил следующий ее частный случай:
Пусть А—диск-алгебра, т. е. алгебра всех функций, непрерывных па замыкании единичного диска UaC и голоморфных: в U. Возьмем в качестве S единичную окружность Т. Пусть Y состоит из сужений на T всех функций из А. По теореме о максимуме модуля подпространство Y замкнуто в C(T). Если К — компактное подмножество в T лебеговой меры 0, то, как утверждает теорема Ф. и М. Риссов (см. [27] или [12, стр. 73]), К удовлетворяет условиям теоремы 5.9. Следовательно, для каждой, функции g?C (К) найдется такая функция f Є Л, что f = g на К.
Доказательство. Пусть р: Y—>С(К)—отображение сужения, т. е. pf = f\f(. Мы должны доказать, что р отображает открытый единичный шар пространства Y на весь открытый единичный шар пространства C(K).
Рассмотрим сопряженный оператор р*: M(K)—>K*, где-M (K) = C (К)*—банахово пространство всех регулярных комплексных борелевских мер на К с нормой 1IHI = IpI(^O' Образ р*р, каждой меры и. ? M (К) является ограниченным линейным, функционалом на У; по теореме Хана — Банаха его можно продолжить с сохранением нормы на все пространство C(S). Другими словами, существует такая мера о ?M(S)t что ||о||=-
гл. 5. некоторые приложения
141
HIpVII и
do== <f, p*fx> = <р/, Ю = J /d\i
s к
для всех f?Y. Рассмотрим меру н как элемент пространства M (S) (ее носитель содержится в /С). Тогда а—ц^У-Ц и из условий, наложенных на /С, следует, что о (E) = [i (E) для любого борелевского множества EaK. Поэтому || и Il ^ IIа II» и мы заключаем, что || \х || ^ ||р*и. ||. В силу утверждения (Ь) леммы 4.13 отсюда следует справедливость теоремы. 0
Примечание. Так как ||р*|| = ||р||< 1, то справедливо также неравенство ||а|К||и.||, так что IMIHIl-1II- Отсюда, учитывая происхождение меры а, легко получаем, что о = и, (как меры на S). Таким образом, продолжение функционала р*и. на C(S) с сохранением нормы единственно.
Вторая интерполяционная теорема относится к конечным произведениям Бляшке, т. е. к функциям В вида
k-\ 1— cckz
где |с| = 1 и |aft|<l при l^Lk^N. Легко видеть, что конечные произведения Бляшке—это в точности те элементы диск-алгебры, модули которых равны 1 в каждой точке единичной окружности.
Данные интерполяционной задачи Пика—Неванлинны—это два конечных подмножества {z0, ...,Zn} и |ш0, ...,Wn} открытого единичного диска U'с С, причем Z1=^=Zj при ІФ\. Указанная задача состоит в отыскании такой голоморфной функции /: U—* V, для которой
/(z1O=Oy1- (0<i<n).
При некоторых данных эта задача вполне может не иметь решения. Например, если {z0, Z1I = (O, 1/2} и {&у0, оух} = {0, 3/2}, то из леммы Шварца следует, что решения не существует. Однако если задача разрешима, то, как показывает следующая теорема» среди ее решений должны быть «очень хорошие» функции.
5.10. Теорема. Пусть |z0, .. .,Zn}, {w0, ..., Wn}—данные Пика — Неванлинны. Если множество E всех голоморфных функций f: U —*Ut для которых f (Z1) =wt при 0 ^ і ^ п, непусто, то оно содержит конечное произведение Бляшке.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что z0 = ^y0 = O. Мы покажем, что существует голоморфная
142
часть i. общая теория
в U функция F, удовлетворяющая условиям
<1) F(O) = I, ReF(z)>0 Для всех z?U,
<2) F(Z1O = P1 = I^ при 1<і<л
и имеющая вид
ft= i к
где ск > 0, и 1ал1=1- Если такая функция F найдена,
то функция B = (F—X)I(F-\-\) является конечным произведением Бляшке и B(Zt)=Wi при О і п.
Пусть К—множество всех голоморфных в U функций F1 удовлетворяющих условиям (1).
Сопоставим каждой мере [х^Ж (T) = С (Г)* функцию
я
<4) Mz)= J^=7 ^ (**)•
-я
Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие P^f1J1 между множеством Я всех вероятностных регулярных борелевских мер на Г и множеством К ([27, теоремы 11.12 и 11.19]) і).
