Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(5) I (и * ср) (X) I = I и (TxCJJ) I < 2NCpN (ср) (1 +1 * |2)w,
чем и доказано утверждение (Ь).
Таким образом, свертка и * ср обладает преобразованием Фурье, которое содержится в &'п. Если яр G S) (R") и носителем этой функции служит компакт К, то
(и*фГ (Ф) = (и*ф) (Ф) = J (и*ф) (л:) яр (—x) dm„ (де) =
J w [яр (—х) тх$] &тп (х) = и J яр (—Jf) xA.cpdm,2 (х)
-к
-к
= M ((ф*Яр)~ ) = U ((ф*Яр)Л) = U (фф),
так что
(6) (ы«фГ (Ф) = (фи)СФ)-
В предыдущей выкладке, когда мы вынесли w за знак интеграла, мы использовали теорему 3.27 в применении к ^„-значному интегралу. Итак, равенство (6) пока что доказано для функций яр ? (R"). Так как подпространство S)(R'1) плотно в <UP„, то, согласно утверждению (Ь) теоремы 7.7, преобразования Фурье элементов этого пространства также образуют всюду плотное подмножество в ofn. Поэтому равенство (6) выполняется для каждой
функции XpG^n- Следовательно, распределения (ищУ и щі совпадают. Этим доказано утверждение (с).
Теперь ясно, что два последних члена в выкладке, предшествующей (6), совпадают при каждом ярЄ^,,. Поэтому
(7) ("*Ф) (Ф) = " ((ф*ярГ)> а это равносильно равенству
(8) ((и*ф)*ір) (0) = («-х- (ф*ф)) (0).
Если в равенстве (8) заменить яр на TxXp1 то мы и получим утверждение (d).
Наконец, согласно утверждению (с) и формуле (6) из п. 7.16, имеем {ищУ — ц>и==(уиу. Этим доказано утверждение (е), ибо (ц>иУ =((сри)Т-
Теоремы Пэли — Винера
Одна из классических теорем Пэли и Винера характеризует целые функции экспоненциального типа (от одного комплексного переменного), сужение которых на вещественную ось принадлежит
208
часть 2. распределения и преобразование фурье
к L2, как совокупность преобразований Фурье /^-функций с компактным носителем (см., например, [27, теорема 19.3] или [2, стр. 179]). Мы приведем два аналогичных результата (для функций пескотьких переменных), один из которых касается С°°-функций с компактным носителем, а другой — распределений с компактным носителем.
7.20. Определения. Пусть Q—открытое множество в С" и / — непрерывная комплексная функция в Q. Тогда функция / называется голоморфной в Q, если она голоморфна по каждому переменному в отдельности. Последнее означает, что если (аи ...,Un)^Q и
gi(k) = f(а„ ...,o/_,, а.[ + Х, о,.,.,, ...,ап),
то каждая из функций , ..., g„ обязана быть голоморфной в некоторой окрестности точки 0 комплексной плоскости С. Функция, голоморфная всюду в С", называется целой.
Для точек из С" будет использоваться обозначение z = (Z1,..., zn), где zft?C. Если zk = xk + iyk, X = (X1, ...,хп), y = (ylt ...,*/„), то мы пишем г = х-\-іу. Векторы
X = R^z и у = Im z
называются соответственно вещественной и мнимой частью г. Под R" теперь понимается совокупность всех z Z С", для которых 3m z = 0. Мы будем использовать также следующие обозначения (где а—мультииндекс и t Z R11Y-
|z| = (| Z1 |>+...+|гя p)V.f |Imz| = (tf+...+j?)V.,
Z- t — Z^t1 -j- . . . -j- Zntп, ez (і) = ехр (iz-t).
7.21. Лемма. Если f—целая функция на С", равная 0 на R", то f = 0.
Доказательство. Мы считаем случай п=\ известным. Пусть ?рк обозначает следующее свойство функции /: если по крайней мерс k первых координат точки z вещественны, то f (z) = 0. Тогда нам дано, а предстоит доказать. Пусть 1 ^ і ^ п и ?pt выполняется. Рассмотрим вещественные at, ...,а.[_г. При любых ?/+1, ..., ап функция Я—±f (ах, ..., а{_и X, ai+u ..., а„) является целой и по условию обращается в 0 па вещественной оси. Поэтому она равна 0 тождественно. По это означает, что выполняется «^?t_t, и лемма доказана. Щ
В следующих двух теоремах используется обозначение
rB = {xZRn- |х|<г}.
гл. 7. преобразование фурье
209
7.22. Теорема, (а) Если носитель функции ф ? S) (R") содер-окится в гВ и если
(1) /U)= J q>(0?-fe-'d/M0 (г€Ся),
R«
то функция f является целой и существуют такие константы yN < оо, что
(2) |f(2)|<TWl+|z|)-*V4-2' (г Є С», N = 0, I1 2, ...).
(Ь) Обратно, если некоторая целая функция / удовлетворяет условиям (2), то найдется такая функция q>?S)(Rn) с носителем в гВ, что будет иметь место представление (1).
Доказательство, (а) Если I ^rB, то
I e-iz-t J _ fcyt ^ gl у I 1 И ^ ?r I Im г I1
Поэтому подынтегральная функция в (1) принадлежит L1 (R") для каждого г G С", и, следовательно, функция f корректно определена всюду на С". Непрерывность функции / тривиальна. Применение теоремы Морера по каждому переменному в отдельности показывает, что функция / является целой. Далее, интегрирование по частям дает
Z«/(Z) = [ (Оаф)(0е-Й-'ЛИВ(0. R"
Поэтому
(3) 12«1If ^КЦОафП!^'1™*1,
откуда вытекает (2).
(Ь) Предположим, что функция / является целой и удовлетворяет условиям (2). Положим
(4) Ф(0= S / (х) еи •* dmn (X) (t?Rn).
R"
Заметим сначала, что, согласно (2), функция (\ -\-\x\)N f (х) при каждом N содержится в L1 (R"). Следовательно, по тем же соображениям, которые были использованы при доказательстве утверждения (с) теоремы 7.4, имеем y^C°°(Rn). Далее, мы утверждаем, что интеграл
со
(5) J ї(1 + іг\,гй, ..., Zn) exp {i It1 (1 + /Ti)-M2Z2-T- + tnzn])dl
