Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(d) Никакой обратимый элемент не может содержаться в собственном идеале. Обратное утверждение установлено при доказательстве (с).
(e) Достаточно применить утверждение (с) к элементу Xe—х. вместо X. Щ
Наше первое применение касается функций в R", представимых: абсолютно сходящимися тригонометрическими рядами. Мы используем те же обозначения, что и в упр. 22 гл. 7,
11.6. Лемма Винера. Пусть f—функция, заданная на R", гс
(1) = SKI <°°,
где обе суммы распространяются на все m?Zn. Если {(х)ф0 для каждого x?R", то
(2) т=^ЬтЄІт'х' где 216»к00•
Доказательство. Пусть А—множество функций вида (1)< с нормой ||/|| = 2ІаіяІ* Легко убедиться, что А является коммутативной банаховой алгеброй относительно поточечного умножения. Единицей этой алгебры служит функция, тождественно равная 1. При каждом х (ER" отображение /—> f (х) является, комплексным гомоморфизмом алгебры А. Предположение относительно заданной функции / заключается в том, что ни один из-этих гомоморфизмов не аннулирует функции f. Если мы сможем: установить, что никаких других комплексных гомоморфизмов, алгебры А нет, то, согласно утверждению (с) теоремы 11.5, отсюда последует, что элемент / обратим в алгебре А, а это в точности совпадает с тем утверждением, которое мы хотим доказать^
При г=1, п положим gr(x) — exp(ixr)t где хг есть г-я координата точки х. Тогда gr и l/gr имеют в А норму 1, Еслиі h ? А, то из утверждения (с) теоремы 10.7 следует, что
ГЛ. II. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
299
Поэтому существуют такие вещественные числа уг, что <3) h (gr) = ехр (iyr) = gr(y) (1 </-<«),
где у¦ —(у\, .... уп). Если P—любой тригонометрический полином (это означает по определению, что P есть конечная линейная комбинация произведений целочисленных степеней функций gr и l/gr), то из (3) вытекает, что
<4) h (P) = P (у),
поскольку h линеен и мультипликативен. Поскольку гомоморфизм h непрерывен (теорема 10.7) и поскольку множество всех тригонометрических полиномов _плотно в А (это ясно из определения нормы), из (4) вытекает, что h (f)=f(y) для каждого /6 А. Таким образом, h сопоставляет функции f ? А ее значение в точке у, и доказательство закончено. Ц
Эта лемма использовалась (при п = \) в первоначальном доказательстве Винера его тауберовой теоремы 9.7. Чтобы усмотреть связь, дадим иную интерпретацию леммы. Будем рассматривать решетку Z" в качестве естественно вложенного подмножества в R". Тогда коэффициенты ат задают на R" некоторую меру \i, сосредоточенную па Z" и сопоставляющую точке т ? Z" «массу» ат. Рассмотрим теперь задачу нахождения такой комплексной меры v, сосредоточенной на Z", что свертка jn*v равна мере Дирака 6. Лемма Винера устанавливает, что эта задача разрешима тогда (и, очевидно, только тогда), когда преобразование Фурье меры р. не имеет нулей на R". Но условие отсутствия нулей—это в точности тауберово условие в теореме 9.7.
Переходя к следующему приложению, обозначим через Un множество всех точек z = (zx, ..., Zn) из С", для которых Iг,-1 < 1 при 1<л^/г. Другими словами, U"—это полидиск в С", т. е. декартово произведение п экземпляров открытого единичного диска UaC Далее, A (U") — множество всех функций /, голоморфных в полидиске U" (см. определение 7.20) и непрерывных
на его замыкании Un.
11.7. Теорема. Пусть flt ..., fk (E A (Un). Предположим, что
каждой точке z(zUn соответствует по крайней мере одно такое І, что Іі(г)Ф0. Тогда найдутся такие функции (P1, ... .... фА€ A (Un), что
О) h (г) Фі (z) H- • - - +h (г) Ф* (*) = 1 (г € Щ.
Доказательство. Множество A = A(U") является коммутативной банаховой алгеброй относительно поточечных операций и sup-нормы. Пусть J — совокупность всевозможных сумм вида _2//Ф/ с произвольными q>i?A. Тогда J—идеал в А. Если утверждение неверно, то ЗфА и, следовательно (теорема 11.3), J со-
3CO ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
держится в некотором максимальном идеале алгебры Л. Тогда (утверждение (а) теоремы 11.5) идеал / аннулируется некоторым гомоморфизмом /г?Д.
При 1 г п положим gr (г) = zr. Тогда || gr || = 1, так что h (gr) = wn где I wr К 1 ¦ Положим W- (W1, ..., Wn). Тогда w?Un и h(gr) =gr(w). Так как /г—гомоморфизм, то отсюда следует, что h (P) —P(w) для каждого полинома Р. Но полиномы плотны в A(U") (упр. 4). Поэтому h(f) = f(w) для каждого / ? А (по тем же соображениям, которые использовались в аналогичном месте доказательства теоремы 11.6).
Так как гомоморфизм h аннулирует идеал J, то получается, что f?(w) = 0 при всех l^i^k. Но это противоречит условию теоремы. Щ
Преобразование Гельфанда
11.8. Определения. Пусть А—множество всех комплексных гомоморфизмов коммутативной банаховой алгебры А. Формула
(1) x(h) = h(x) (he А)
сопоставляет каждому элементу х?А функцию х: А—>С. Функцию X мы называем преобразованием Гельфанда элемента х.
Пусть А—множество всех таких функций х для х Є А. Топологией Гельфанда на А называется слабая топология, порожденная семейством А, т.е. слабейшая топология, в которой все функции X непрерывны. При этом, очевидно, A cz С (А), где, как обычно, C(A) — алгебра всех непрерывных комплексных функций па А.
