Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Проделать то же самое для случая, когда К— единичная окружность.
7. Усилить следующим образом утверждение (1) о непрерывности в теореме 10.27. Если К— произвольное компактное подмножество в Q и
^k= {х € А: о (x)CZK}, то / „(я) —> f(x) равномерно на Ак.
8. (а) В доказательстве теоремы 10.29 использовалась теорема Фубиниг для векторнозначных функций. Обосновать это.
(Ь) Дать другое доказательство теоремы 10.29, идя по следующему пути* который не требует привлечения контурного интегрирования. Сначала доказать теорему для полиномов g, затем для рациональных функций g ? H а общий случай получить при помощи теоремы Рунге.
9. В выкладке (б) из п. 10.35 используется интегрирование но частям в векторнозначном интеграле. Обосновать это.
10*
292
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
10. Доказать теорему о дифференцировании сложной функции для вск-торнозначных функции, которая была использована при доказательстве теоремы 10.39. Доказать основную теорему дифференциального и интегрального исчисления (формулу Ньюгона — Лейбница) для векторнозначных функций; эта теорема требуется для обоснования формулы (8) из доказательства теоремы 10.39.
11. Доказать со всеми подробностями, что сходимость в соотношении (J) из теоремы 10.38 действительно равномерна на Г.
12. Пусть k — положительное целое число, о) = ехр (2ni/k) и отображение /: А—у А задается равенством f(x) = xk.
(а) Доказать, что отображение / является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки X0 Z А, если X0 удовлетворяет условию
(Ь) Для коммутативной алгебры А это утверждение верно для любого обратимого элемента X0 из А.
13. Пусть А—алгебра матриц вида
где а ? С, ? ? С. Доказать, что величина |a|-(-|?| задает на А норму банаховой алгебры. Положим f(x)=x2 при х ? А. Описать f (А). Является ли f (А) открытым в Л? Является ли отображение / открытым? [Ср. с вопросом (Ь) из упр. 12.]
14. Показать, что каждая двумерная комплексная алгебра А с единицей е либо изоморфна С2 с покоординатными операциями, либо изоморфна алгебре, описанной в упр. 13. Указание. В первом случае имеется такой элемент X Ф ± е, что х2=е, а во втором — такой элемент х Ф 0, что Jt2 = 0. Доказать, что (в точности) одна из этих возможностей осуществляется в любой двумерной алгебре 1).
Показать, что существуют трехмерные некоммутативные банаховы алгебры над полем комплексных чисел.
15. Доказать соотношение
справедливой для любых элементов X и у в произвольной банаховой алгебре А. [Обозначения те же, что в п. 10.37.]
16. Пусть A = C(T) — алгебра всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности Т, наделенная sup-нормой. Доказать, что два обратимых элемента алгебры C(T) тогда и только тогда принадлежат одному и тому же классу смежности но подгруппе G1, когда они задают гомотопные отображения окружности T в множество ненулевых комплексных
1J В частности, каждая двумерная алгебра над нолем комплексных чисел оказывается коммутативной, и теперь естественно спросить, не противоречит ли этому существование некоммутативного тела кватернионов (вещественной ,размерности 4), которое включает в себя поле комплексных чисел.— Прим. ред.
a(X0) П «"о(х0) — 0 при я=1, .
k—l.
ехр (Cx) = ехр (Rx) ехр (— Lx)
и использовать его для вывода формулы
ехр (— х) у ехр (j:) = [ехр (Cx)] у.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
293
чисел. Вывести отсюда, что факторгруппа 0/G1 в данном случае изоморфна аддитивной группе целых чисел. [Обозначения те же, чго и в теореме 10.44.]
17. Пусть A=M(R) — алгебра всех комплексных борелевских мер на вещественной оси со сверткой в качестве умножения (см. пример 10.3 (е)). Восполнить детали в следующем рассуждении, показывающем, что факторгруппа GjG1 несчетна. Пусть а ? R и ба — единичная мера, сосредоточенная в точке а. Предположим, что 6а ? G1. Тогда ба —охр (цла) для некоторой меры JIa ? M (R). Поэтому при — со < / < оо имеем
— iat =ца (0 \~2kni,
где k — целое число. Но так как функция ца является ограниченной, то а = 0. Таким образом, б0—единственная из мер ба, которая попадает в G1. Поэтому ни один из смежных классов группы G по подгруппе G1 не может содержать более одной меры 6а.
18. Пусть Q— открытое множество в С, а—изолированная граничная точка для Q, /: Q—>Х — голоморфная Х-значиая функция в Q (где X — некоторое комплексное банахово пространство), п — неотрицательное целое число и величина
I X-a I «И/(X) И
остается ограниченной при X—*а. В таком случае говорят, что / имеет полюс (порядка <п) в точке а.
(a) Пусть X ? А и (Xe—х)~г имеет полюс в каждой точке множества с(х). [Заметим, что такое может происходить только в том случае, когда множество о(х) конечно.] Доказать, что P (х) = 0 для некоторого нетривиального полинома Р.
(b) Рассмотрим частный случай ситуации (а), когда а(х) = |0} и (Xe—л:)-1 имеет полюс порядка п в точке 0. Доказать, что хп = 0.
19. Пусть Sr—правый сдвиг, действующий в /2, как это описано в упр. I. Пусть Icn) — последовательность комплексных чисел, для которой Cn ?= 0, но с„—>0 при п—> оо. Определим оператор M ? ZB(I2), полагая
