Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(10) \\F(x'')-F(x')\\X\-ul)\\x"-x'\\ (x' ^B, х"ЄВ).
Поэтому отображение F инъективно в шаре В. Далее, если определить отображение G: F(B)-^-B условием G (F (х)) = х, то, согласно (10), это отображение оказывается непрерывным.
Наша ближайшая цель—доказать, что F (B)zd(\—а) В.
Пусть уЄ(\ —а) В. Положим x0 = 0, x1 = у. Допустим, что tC^ 1 и что существуют такие точки х0, хп, которые удовлетворяют условиям
(11) xt = y + fP(xi.l) (1<?<п) и
(12) II*/—*і-іІКа'"ЧІ#ІІ (KK")-
[Эти условия выполнены при /1=1.] Согласно (12), имеем
(13) IlXnц< SlI*,-*,-х|К 2а'-чык(1-oc)-1Ml*
так что хп ЄВ, элемент ц>(хп) определен и мы можем положить <14) *„+і=# + ф(*«).
гл. 10. банаховы алгебры
285
Из (14), (11) и (9) вытекает, что
(15) I) Xn+1-Xn И = Il ф (xn) — ф (*„_,) |Ка Il xn-xn^x ||.
Тем самым по индукции получается бесконечная последовательность {хп\, удовлетворяющая условиям (11) и (12). Так как а< 1, то из условия (12) вытекает, что {хп\ есть последовательность Коши, сходящаяся к некоторому элементу х, причем этот элемент, согласно (13), содержится в шаре В. Из (11) и (3) вытекает, что F (х) = у.
Если положить V=^(I-а) В и U = G (V) = В П F"1 (V), то утверждения (і) и (ii) будут выполняться. Поэтому нам остается проверить, что отображение G является непрерывно дифференцируемым в V.
Пусть yGV, y + k?V, кфО, X = G(у), x + h = G(y + k). Положим S = (DF)x. Тогда
G (y+k)—G (y)—S~1k = h—S~lk = S-1 (Sh-k) =
= —S"1 [F (x + h)—F (х)—Sh].
Из неравенства (10) следует, что (1—а) || h |К Il ^ II- Поэтому
\\G(y + k)-G(y)-S-411 ^ „ ,, \\F(x+h)-F(x)-Sh \\ И k И ^1'° 11 (1-а) И ЯII
Если k—у 0, то, согласно (10), и h—> O. Так как S = (DF)x, то последнее неравенство означает поэтому, что S-1 = (DG)y. Другими словами,
(16) (DG)y= [(DF)G(y)]~1 (у GV).
Так как G непрерывно отображает V в 9B(X) и так как переход к обратному в алгебре 93 (X) есть непрерывная операция (теорема 10.12), то соотношение (16) означает, что у—>(DG)y есть непрерывное отображение из V в 93 (X). Щ
10.40. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра, Q— открытое множество в С, х G Aq и производная f некоторой функции f GH (Q) не имеет нулей на о (х). Тогда элемент х обладает такой окрестностью UcAq, что сужение отображения f на эту окрестность U является диффеоморфизмом на некоторое открытое подмножество в А.
Доказательство. По теореме 10.28 элемент /' (х) обратим в алгебре А. Согласно теореме 10.36, отсюда следует, что элемент (Df)x обратим в алгебре 93(A). Так как //—>(D/)y есть непрерывное отображение из Aq в А (теорема 10.38) и так как обратимые элементы в 33(A) составляют открытое подмножество, то элемент x обладает такой окрестностью, что для любого у из
этой окрестности оператор (Df) обратим. Теперь остается воспользоваться теоремой 10.39. Я
286 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Может показаться, что / осуществляет открытое отображение множества Aq в А для любой функции f Z^(Q), которая не сводится к константе ни в одной из компонент множества Q. Заметим, что в теореме 10.40 это не утверждается. Более того, вообще говоря, это и неверно (см., например, упр. 13). Из доказательства теоремы только видно, что отображение f открыто вблизи каждой точки х, для которой оператор (Df)x является обратимым.
Предположение, что f не имеет нулей на с(х), означает, что функция / является локально взаимно однозначной в подходящей открытой окрестности компакта о(х). Теорема 10.42 покажет, что если снять дополнительное предположение о коммутативности, то из этого локального условия уже не будет вытекать открытость
отображения / в точке х. Однако аналогичная глобальная теорема оказывается справедливой.
10.41. Теорема. Пусть А — произвольная банахова алгебра, Q—открытое множество в С, f ZH(Q)1 причем функция f взаимно
однозначна (однолистна) в Q. Тогда отображение J осуществляет диффеоморфизм между Aq и Af(q).
Доказательство. Пу*сть g: f(Q) —> Q — отображение, обратное к /. Так как суперпозиции g о f и fog суть тождественные отображения множеств Qn/ (Q) соответственно, то, согласно теореме 10.29, отображение go J тождественно в Aq, а отображение fog тождественно в Af(q). Поэтому отображение / взаимно однозначно и его образом служит Af (qj. Кроме того,
по теореме 10.38, отображение / и обратное к нему g оба непрерывно дифференцируемы. Щ
10.42. Теорема. Пусть А=!в(Х), где X—комплексное банахово пространство, причем dim X > 1. Пусть Q—открытое множество в С и /бЯ(Q). Если функция f не является взаимно однозначной в Q, то некоторое T0ZAq обладает такой окрестностью U, что множество f (U) не содержит никакой окрестности точки J(T0).
Таким образом, f не будет открытым в точке T0.
Доказательство. По предположению множество Q содержит две точки a=7^?, в которых, скажем, / (а) = / (?) = с. Пусть Y—замкнутое подпространство в X коразмерности 1. Выберем такие векторы X1, X2ZX, что X1-^O и X3 содержится в Y, a X1 не содержится. Определим оператор T0ZA, полагая
О)
71ox1=ocx1, T0y = f>y, если уZY.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
287
