Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, отображение /—>f о х устанавливает изометрический изоморфизм между С(о(х)) и C(A), причем этот изоморфизм сохраняет комплексное сопряжение.
ГЛ. л. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
зіа
Тем самым, по теореме 11.18, каждая функция fox есть преобразование Гельфанда однозначно определенного элемента алгебры А. Этот элемент мы обозначаем через Wf. Ясно, что W^f \ — = ||/Утверждение (2) непосредственно вытекает из формулы (2) теоремы 11.18. Если / (X) = X, то fox = x, так что из (1) получается 1Vf = X. Ц
Замечание. В ситуации, описанной теоремой 11.19, разумно обозначать через f (х) элемент алгебры А, преобразование Гельфанда которого равно fox. Такое обозначение часто и используется. При этом функциональное исчисление (для данного специального типа алгебр) расширяется на класс произвольных, непрерывных функций на спектре элемента х независимо от того, голоморфны они или нет.
Часто представляет особый интерес вопрос о существовании квадратных корней из элементов алгебры. В случае алгебр с инволюцией можно спросить, при каких условиях эрмитовы элементы обладают эрмитовыми квадратными корнями.
11.20. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра с инволюцией, X ? А, х = х* и о (х) не содержит неположительных вещественных X. Тогда существует такой элемент у G А, что у = у" и у* = х.
Отметим, что инволюция здесь не предполагается непрерывной. В дальнейшем (теорема 11.26) мы увидим, что предположение о коммутативности алгебры не существенно.
Доказательство. Пусть Q—дополнение (в С) к множеству всех неположительных вещественных чисел. Существует такая функция f?Н(Q), что f2(X) = X и /(1)=1. Так как o(x)c:Q, то мы можем задать (в соответствии с определением 10.26) элемент у G А, полагая
(1) У = F(x).
В силу теоремы 10.27 тогда у-=х. Докажем, что у* = у.
Так как множество Q одпосвязно, то по теореме Рунге найдется последовательность полиномов Pn, сходящаяся к / равномерно на компактных подмножествах множества Q. Зададим полиномы Qn, полагая _
(2) 2Qn(X) = Pn(X)^Pn(X).
Так как f(X) = f(X), то полиномы Qn сходятся к / в том же самом смысле, что и Pn. Положим
(3) Ijn = Qn(X) (/1=1, 2, 3, ...).
В силу (2) коэффициенты полиномов Qn вещественны. Так как
314
ЧАСТЬ 3 БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
х = х*, то отсюда вытекает, что уп = у*п. По теореме 10.27 имеем <4) У= Hm уп1
П ->• со
так как Qn—>f и, следовательно, Qn(x)—>}(х). Если предположить, что инволюция непрерывна, то множество эрмитовых элементов окажется замкнутым и тогда равенство у* = у будет прямым следствием формулы (4). В общем случае требуется дополнительное рассуждение (в котором, впрочем, мы воспользуемся отмеченным здесь обстоятельством).
Пусть R— радикал алгебры А и л: А—> AjR— каноническое отображение. FIa алгебре AIR корректно определяется инволюция, если положить
(5) [я (а)]* = л (а*) (а ? А).
Если элемент а?А эрмитов, то эрмитовым будет и элемент л (а). Так как отображение л непрерывно, то к (уп) —> л (у). По теореме
11.9 алгебра AjR изоморфна алгебре А и, следовательно, полупроста. Поэтому любая инволюция на алгебре AjR непрерывна (теорема 11.16). Отсюда вытекает, что элемент л (у) эрмитов, т. е. я (у) = л (у*).
Итак, мы установили, что элемент у*—у принадлежит радикалу алгебры А.
В соответствии с теоремой 11.15 имеет место представление y = u-j-iv, где и = и* и v = v*. Мы уже доказали, что v?R. Так как X = у2, то
(6) X = и* — v2-\-2iuv.
Пусть h—произвольный комплексный гомоморфизм алгебры А. Так как v?R, то h(v) = 0. Поэтому h (х) = [h (и)]2. По предположению 0(?а (х). Следовательно, 1г(х)ф0, и, значит, }г(и)ФО. Согласно теореме 11.5, элемент и обратим в алгебре А. Так как х = х*, то из формулы (6) вытекает, что UV = O. Но V = и~х (uv), и поэтому v = 0. Теорема полностью доказана. |
Замечание. Если а(л')сг(0, оо), то и о(у)с:(0, со). Это непосредственно вытекает из формулы (1), определяющей элемент у. и теоремы об отображении спектров.
Приложения к некоммутативным алгебрам
Некоммутативные алгебры всегда содержат коммутативные подалгебры. Наличие таких подалгебр иногда может быть использовано для распространения некоторых результатов на некоммутативную ситуацию. На тривиальном уровне мы это уже проделывали. Так, при обсуждении элементарных свойств спектров мы обычно занимались каким-то одним фиксированным элементом х ? А.
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
315
Конечно, замкнутая подалгебра A0 алгебры А, порожденная этим элементом, коммутативна, и большая часть обсуждения проводилась в рамках этой коммутативной алгебры. Одна из возможных трудностей, возникающих здесь, заключается в том, что спектр элемента х в алгебре A0, вообще говоря, отличается от спектра этого элемента в А. Оказывается (теорема 11.22), существует простая конструкция, позволяющая обойти эту трудность. Еще один способ (теорема 11.25) можно применять, когда А — алгебра с инволюцией.
11.21. Централизатор. Если S—подмножество банаховой алгебры А, то централизатором этого подмножества называется множество
T(S) = ^g Л: xs = sx для каждого s? S}.
