Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 110

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 171 >> Следующая

(Mf)(n)=cnf(n) (п^О),
и пусть T-MSr.
(a) Вычислить || Тт \\ для т==1, 2, 3.....
(b) Показать, чго о(Т) = {0\.
(c) Показать, что оператор T не имеет собственных значений. [Точечный спектр этого оператора пуст, хотя весь его спектр содержит только одну точку! I
((I) Показать, что 0 не является полюсом для (X/ — Т)~1. (е) Показать, что T — компактный оператор.
20. Пусть X ? А, хп ? А и lim Xn = х. Предположим, что Q — открытое множество в С, содержащее некоторую компоненту множества о (х). Доказать, что о (хп) пересекается с Q для всех достаточно больших п. [Это больше, чем утверждается в теореме 10.20.] Указание. Если о (х) CZ Q (J ^0, где Q0 — открытое множество, не пересекающееся с Q, то рассмотрите функцию /, равную 1 на Q и равную 0 на Q0.
21. Пусть Cr—алгебра всех вещественных непрерывных функций на отрезке [0, 1] с sup-нормой. Она удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на банахову алгебру, за исключением того, что нолем скаляров теперь служат вещественные числа.
294 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
1
(a) Если (f. (/)= ^ / (/) dt, то ф (1) = 1 и <p (f) ф 0 для каждого обратимого
о
в Cr элемента /. Однако функционал ф не является мультипликативным..
(b) Пусть G и G1 определяются для Cr в соответствии с теоремой 10.44.. Показать, что группа GjG1 имеет порядок 2.
Таким образом, аналоги теоремы 10.9 и утверждения (d) теоремы 10.44-оказываются неверными и для алгебры над вещественным полем. В каком месте не проходит доказательство утверждения (d) теоремы 10.44?
22. Пусть Л— алгебра всех комплексных квадратных матриц порядка 2.. Отождествим А с S(C2), где С2 наделяется нормой || (а, ?) ІІ = І а 1 + 1 ? I-[Тем самым вводится норма и в А.] Рассмотрим в А элемент
-С -D-
(a) Найти И дг II, а(х) и a (Cx).
(b) Пусть t ? С, t2 Ф 1 и / ?) = \/(i — k), так что
f(y) = (te-y)-1 (у G Л, t$o(y)).
Вычислить (Df)xW показать, что ряд (яі)"1/*"' (х) С"""1 сходится тогда и только тогда, когда \t—1|>2и J / -j- I | > 2. [Тем самым в последней части теоремы 10.38 константа 3 не может быть заменена меньшей.] Частичный ответ на вопрос (Ь):
( Пх\с d) \cl(t2-\) df(t+l)2 /'
23. Что получится, если процесс присоединения единицы (описанный в п. 10.1) применить к алгебре А, обладающей единицей? Ясно, что в результате не может получиться алгебра Л| с двумя единицами. Выяснить, в чем; дело.
24. Показать, что элементы ху и ух всегда имеют один и тог же спектральный радиус1). Указание: (ху)" ==х (ух)"-1 у,
25. (а) Доказать, что алгебра А коммутативна, если существует такая» константа M < оо, что || ху || M \\ ух || для всех хну из А. Указание^ Имеем II w~1yw И =С M Ij у Il, если w—обратимый элемент из Л. Замените ш на ехр (kx), где X G Л и К ? С. Закончите доказательство, как в теореме-12.16 (при помощи теоремы Лиувилля).
(Ь) Доказать, что алгебра Л коммутативна, если || х21| —1| х ||2 для каждого X G А- Указание. Покажите, что ||jc|| = p (х)2). Используя упр. 24,. выведите отсюда, что || w~ 1yw || = || у ||. Продолжите доказательство, как. в задаче (а).
26. Пусть л; ^ Л и хп = е для некоторого положительного целого п.. Доказать, что х ? G1. [Обозначения тс же, что и в теореме 10.44.] Заменить, условие хп = е более общими.
х) Более того, согласно результату задачи (Ь) упр. 2, всегда а (ху) \J U M = «* (Ух) U {0}.- Прим. ред.
2J Вообще говоря, не верно, что алгебра Л коммутативна, если р (х) ф Г> при всех X ф 0. Вот простейший пример (см. примечание па стр. 426). Алгебра Л как банахово пространство совпадает с Iі, а умножение на элементах естественного базиса определяется следующим образом: C1-C2 = Ci2*. сі9е7б = ^і97б и т- п> Читателю рекомендуется восполнить детали.— Прим. ред^
Глава 11 КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
В этой главе в основном речь будет идти о гельфандовской теории коммутативных банаховых алгебр, хотя некоторые результаты этой теории будут применяться и в некоммутативной ситуации. Терминология предыдущей главы остается без изменений. В частности, банаховы алгебры не предполагаются коммутативными, если это условие специально не оговаривается. Вместе с тем наличие единицы всегда имеется в виду, а полем скаляров считается поле С комплексных чисел.
Идеалы и гомоморфизмы
11.1. Определение. Подмножество J коммутативной комплексной алгебры А называется идеалом, если
(a) J является подпространством в А (точнее, линейным подпространством) и
(b) xy?J при всех X 6 А и y?J.
Если J Ф А, то J называется собственным идеалом. Максимальным идеалом называется собственный идеал, который не содержится ни в каком большем собственном идеале.
11.2. Предложение, (а) Никакой собственный идеал алгебры А не содержит обратимых элементов этой алгебры.
(Ь) Если J — идеал в коммутативной банаховой алгебре А, то ¦его замыкание J также является идеалом.
Доказательства столь просты, что предоставляются читателю в качестве упражнений.
11.3. Теорема, (а) Если А—коммутативная комплексная алгебра с единицей, то каждый ее собственный идеал содержится хотя бы в одном максимальном идеале этой алгебры.
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed