Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 115

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 171 >> Следующая

(2) Мл;)=* о ф-i (х?А).
Тогда яр служит гомоморфизмом (изоморфизмом, если алгебра А полупроста) алгебры А на некоторую подалгебру яр (А) алгебры C(K). Легко проверить, что
(3) яр (Xi) (z) = Z1-, если Z = (Z1, Zn) € К, и, следовательно,
(4) яр (P (X,, ..., Xn)) (Z) = P (Z) (Z ? К)
для каждого полинома P от п переменных.
Отсюда вытекает, что элементы алгебры яр (А) суть равномерные пределы полиномов на К.
Множества К cz С", которые возникают на этом пути в качестве пространств максимальных идеалов, обладают одним дополнительным свойством—они (в соответствии с принятой терминологией) полиномиально выпуклы: если w?Cn и w^K, то существует такой полином Р, что | P (г) | ^ 1 для каждого z ? /С, но \ P (w) | > 1.
Действительно, предположим, что такого полинома не существует. Так как преобразование Гельфанда не увеличивает нормы, то тогда
(5) I P(W)[K Il P (X1.....хп)\\
для каждого полинома P (норма справа берется в А). Поскольку {X1, ..., хп\—система образующих алгебры Л, из неравенства (5) вытекает существование такого гомоморфизма H ? А, что ф (H) = W. Но тогда w 6 К, и мы приходим к противоречию.
Компактные полиномиально выпуклые подмножества в С и только они обладают связным дополнением; это легко вытекает из теоремы Рунге. Геометрическая структура полиномиально выпуклых множеств в С" кажется гораздо менее понятной.
306 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
(е) Наш следующий пример показывает, что преобразование Гельфанда является обобщением преобразования Фурье, по крайней мере если последнее рассматривать в ^-ситуации.
Пусть А есть L1 (R"), к которому в соответствии с п. 10.3 (d) добавлена единица. Элементы алгебры А однозначно представляются в виде f + аб, где f ^L1 (R"), a и 6—мера Дирака на R". Умножением в алгебре А служит свертка:
H + об) * (g + ?O) = (/ • g + ?/ + ct?) + a?o.
При каждом / ? R" формула
(6) ht(f + ao) = f(t)+a
определяет некоторый комплексный гомоморфизм алгебры А. Здесь
/—преобразование Фурье от f. Еще один комплексный гомоморфизм задается формулой
(7) he> (/-J-a?) =a.
Других комплексных гомоморфизмов у алгебры А нет. [Вскоре мы наметим доказательство этого утверждения.] Таким образом,, в теоретико-множественном смысле пространство А естественно отождествляется с R"U{co}. Зададим на А топологию одноточечной компактификации пространства R". Так как J (/)—>O при |^|—>-оо для каждого /^L1 (R"), то из (6) и (7) вытекает, что
A cz C(A). Так как семейство А разделяет точки А, то слабая топология на А, индуцированная этим семейством, совпадает с только что описанной топологией.
Остается показать, что каждый гомоморфизм /i ? А имеет вид (6) или (7). Если h If) = O для каждого /^L1 (R"), то h = hx. Предположим, что Н(Ї)Ф0 для некоторого /^L1 (R"). Тогда
/i (/) = ^ /? dmn с подходящим ? ? L°° (R"). Поскольку h(f#g) =
= h(f)h(g), то можно доказать, что функция ? почти всюду совпадает с непрерывной функцией Ь, удовлетворяющей функциональному уравнению
(8) b(x + y) = b(x)b(y) {х, y?R»).
Наконец, каждое ограниченное решение уравнения (8) имеет вид
(9) Ь(х) = е-'*-' {XGK'1)
при некотором / ? R". Таким образом, h(f)=}(t)f т.е. h представляется в виде (6).
Для п = 1 детали, дополняющие предыдущее рассуждение, можно найти в книге [27, п. 9.22] (а также, например, в [10} или [43]). Случай л > 1 рассматривается аналогично.
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
307
(f) Наш последний пример—алгебра L°° (т). Здесь т—мера Лебега на единичном отрезке [0, 1] и LT (т)—обычное пространство классов эквивалентности (совпадающих почти всюду) ограниченных комплексных измеримых функций на отрезке [0, Ї] с нормой—существенная верхняя грань модуля. Операции умножения (и сложения) определяются поточечно. Очевидно, ЧТО MbI действительно имеем дело с коммутативной банаховой алгеброй.
Если /?L°°(m) и Gf есть объединение всех таких открытых множеств GcC, что m (/-1 (G)) = 0, то дополнение к Gf (называемое множеством существенных значений функции /), как легко видеть, совпадает со спектром о (f) элемента /, т. е. с множеством
значений преобразования Гельфанда / этого элемента. Отсюда
вытекает, что / вещественно, если вещественно /. Поэтому алгебра LT(Hi)" замкнута относительно перехода к комплексно сопряженным функциям. Следовательно, по теореме Сгоуна — Вейерштрасса, алгебра L°° (т)~ плотна в C(A)1 где А — пространство максимальных идеалов алгебры L°° (т). Кроме того, ясно,
что отображение /—> / является изометрией, так что алгебра l00 (ту замкнута в C(A).
Итак, отображение f—>¦ f представляет собой изометрию алгебры L00 (т) на всю алгебру С (А).
Далее, соответствие /—> dm представляет собой ограниченный линейный функционал на пространстве C(A). Поэтому, согласно теореме Рисса о функционалах в пространстве всех непрерывных функций, найдется такая регулярная борелевская
вероятностная мера т на А, что
і
{1O) \fdm=\fdm (/6^°°(m)).
л о
Пусть Q—непустое открытое множество в Л. По лемме Уры-
сона, найдется такая функция / ? C(A), /^0, что / = 0 вне Q
и / (р) = 1 в некоторой точке /? € Соответствующая функция / будет тогда ненулевым элементом пространства L00 (т), и интеграл (10) окажется положительным.
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed