Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Так как [| х21| ^ г \\ х ||2 для каждого х Є А, то индукцией по п получаем
(3) IlхтIl>гт~1 КX\\т (т = 2я, п- 1,2,3, ...).
Извлечем корни т-й степени из обеих частей неравенства (3) и в полученном неравенстве положим т—> oo. Из формулы спектрального радиуса и утверждения (с) теоремы 11.9 тогда получается
(4) ІІ*І|«=Р(*)^г|[*|| (хе Л). Поэтому г ^s. Q
11.12. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра.
(a) Преобразование Гельфанда тогда и только тогда является
изометрией (т.е. ||#|| = |[#||оо для каждого х Є А), когда ||#2||=* — ||л: К2 для каждого х?А.
(b) Алгебра А полупроста и одновременно алгебра A замкнута в C(A) в том и только в том случае, если существует такая константа /С<°°, что \\ х ||2 ^ К || х2 \\ при каждом х?А.
Доказательство, (а) В обозначениях леммы 11.11 преобразование Гельфанда тогда и только тогда является изометрией, когда s-^1, что происходит (по лемме) в том и только в том случае, если г=1.
(Ъ) Существование указанной константы К эквивалентно условию г > 0, а это (по лемме) равносильно условию s > 0. Если
s > 0, то отображение х—* х взаимно однозначно и обладает непрерывным обратным. Поэтому в такой ситуации алгебра Л является полной (и, следовательно, замкнутой) подалгеброй в C(A).
Обратно, если отображение х—>х взаимно однозначно и если алгебра А замкнута в С (А), то по теореме об открытом отображении s>0. ¦
11.13. Примеры. В ряде случаев пространство максимальных идеалов заданной коммутативной банаховой алгебры допускает простое явное описание. Вместе с тем в других случаях можно встретиться с совершенно невероятной патологией. В этом пункте мы приведем несколько примеров, иллюстрирующих положение дел.
(а) Пусть X— компактное хаусдорфово пространство и C(X) — алгебра всех комплексных непрерывных функций на X с sup-нормой. Для каждого л; Є X отображение /—> f (х) задает некоторый
304 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
комплексный гомоморфизм hx. Так как алгебра С (X) разделяет точки компакта X (лемма Урысона), то НхФку при хфу. Следовательно, отображение X—>hx задаст вложение компакта X в А.
Мы утверждаем, что каждый гомоморфизм h ? А имеет вид hx. Если это не так, то найдется такой максимальный идеал M в C(X), который для каждой точки р?Х содержит хотя бы одну функцию / с [(р)ф0. Ввиду компактности пространства X найдется конечное семейство fx, ..., /„ функций из идеала М, таких, что в каждой точке пространства X хотя бы одна из этих функций не обращается в нуль. Положим
g = fJi+- • • + fjn-
Тогда g^M, так как M — идеал. Вместе с тем g > 0 в каждой точке пространства X и, следовательно, g—обратимый элемент алгебры C(X). Однако собственный идеал не может содержать обратимых элементов.
Таким образом, соответствие х <-» Hx является взаимно однозначным соответствием между X и А, что позволяет отождествить А с X. Это отождествление корректно и с топологической точки зрения: гельфандовская топология у на А—слабая топология, порожденная семейством C(X), и, следовательно, она слабее, чем т—исходная топология на X; вместе с тем у—хаусдорфова топология, так что у = т (см. утверждение (а) в п. 3.8).
Окончательный вывод состоит в том, что X «есть» пространство максимальных идеалов алгебры C(X) и что преобразование Гель-фанда сводится к тождественному преобразованию на C(X).
(b) Пусть А—алгебра всех абсолютно сходящихся тригонометрических рядов, описанная в п. 11.6. Мы обнаружили, что комплексные гомоморфизмы алгебры А задаются точками пространства Так как элементы алгебры А являются 2л-периоди-ческими функциями по каждому переменному, то пространство А отождествляется с тором Тп, который получается из R'1 при помощи отображения
(Ху, . . . , Xn) *¦ (е , ..., е
В частности, мы получаем пример, когда А плотно в C(A), хотя АФС(А).
(c) Аналогично при доказательстве теоремы 11.7 было установлено, что замкнутый полидиск Оп служит пространством максимальных идеалов алгебры A (U'1). Соображения, использованные в конце пункта (а), показывают, что и здесь естественная топология на Un совпадает с топологией Гельфанда, индуцированной семейством Л (U'1). Кстати, аналогичное замечание можно сделать и в связи с примером (Ь).
(d) Последний пример допускает интересные обобщения. Пусть А—коммутативная банахова алгебра с конечным числом обра-
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
305
зующих, скажем X1, ..., хп. Это означает, что X1- ? A (I ^n)
и что множество всех ПОЛИНОМОВ ОТ X1.....Xn плотно в А.
Положим
(1) Ф (Л) = (xy(h).....xn\h)) (Л€Д).
Тогда отображение ср осуществляет гомеоморфизм пространства А на некоторое компактное множество К cz С". В самом деле, ото-
бражеиие (р непрерывно, поскольку A cz C(A). Если ф> (^i) = Ф (^2). то H1 (х;) = H2 (xt) для всех L Поэтому H1 (х) — H2 (х) для любого полинома л; от X1, ..., хп. Но такие полиномы плотны в А, так что H1 = H2. Итак, отображение ф взаимно однозначно.
Мы можем перенести теперь Л с А на К и рассматривать К как пространство максимальных идеалов алгебры А. Для большей аккуратности положим
