Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(Ь) Пусть Г—группа, порожденная множеством ехр (Л). При я = 1, 2, 3, ... обозначим через En множество всех произведений по п элементов из ехр (Л). Так как у1 Z ехр (Л) при у Z ехр (Л), то Г совпадает с объединением множеств En. Так как произведение любых двух связных множеств является связным1), то по
J) Заметим, что здесь речь идет не о прямом произведении (хотя это-верно и для прямого произведения), а о произведении в группе. Для доказательства указанного утверждения достаточно воспользоваться тем (очевидным) обстоятельством, что при непрерывном отображении связное множество» остается связным. В частности, не ограничивая общности, можно предположить, что перемножаемые подмножества F', F" группы И содержат единицу г этой группы. Тогда в компоненту точки eZ^'F" войдет F" и, следовательно, aF" при каждом aZF'- Поэтому F'F" связно.— Прим ред.
10 Лі- Й7І
290
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
идукции получаем, что каждое из множеств En связно. Вместе с тем каждое из множеств En содержит точку е, так что EnCzG1. Поэтому Г является подгруппой в G1.
¦Далее, множество ехр (Л) имеет внутренние точки относительно G (георема 10.30). Поэтому тем же свойством обладает и Г. Так как Г является группой, а умножение на любой элемент X G G есть гомеоморфизм группы G на себя, го Г открыто в G1.
Из сказанного ясно, что каждый класс смежности в группе G1 по подгруппе Г является открытым множеством. Таким же будет и любое объединение классов смежности, в частности объединение нетривиальных классов смежности. Но дополнение к последнему совпадает с Г, так что Г замкнуто в G1.
Таким образом, Г открыто и замкнуто в G1, а так как G1 связно, то T = G1.
(c) Если алгебра А коммутативна, то функциональное уравнение, которому удовлетворяет экспоненциальная функция, показывает, что множество ехр (Л) является в этом случае группой. Поэтому утверждение (с) вытекает из (Ь).
(d) Мы должны доказать следующее предложение: если алгебра А коммутативна, х (E G и хп ? G1 для некоторого положительного целого числа п, то X^G1.
Согласно утверждению (с), из условия вытекает, что хп = — ехр(я) для некоторого a G А. Положим у = схр (п~1а) и Z=Xy1. Так как у G G1, то достаточно показать, что 2^G1.
Ввиду коммутативности алгебры Л имеем
zn = хпуп = ехр (а) ехр (— а) = е.
Положим [(K) = 1Kz — (К—\)е, и пусть E = [K?С: f(K)?G\. Если ct G о (г), то ап?о(гп) = б(е) = {\\. Поэтому если X(^E, то {К—\)п — Кп. Последнее уравнение имеет только п—і решений в С. Следовательно, множество E связно. Поэтому f (E)—связное подмножество в G, содержащее точку f(0) = e. Таким образом, /(E)CiG1. В частности, Z = I(I)(^G1. 'Ц
В теореме 12.38 будет показано, что множество ехр (Л) не обязательно является группой.
Упражнения
Во всех упражнениях А обозначает некоторую банахову алгебру. 1. Пусть л:?Л, ?/?Л.
(a) Доказать, что если элементы х и ху обратимы в Л, то обратим и элемент у.
(b) Доказать, что если элементы ху и ух обратимы в Л. то оба элемента X и у обратимы. [В коммутативном случае этот факт использовался при доказательстве теорем 10.13 и 10.28.]
(c) Доказать, что, вообще говоря, может быть ху = е ф ух. Рассмотреть, например, правый и левый сдвиги и Si на подходящем банаховом про-
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГРБРЫ
291
странстве функций /, заданных на множестве неотрицательных целых чисел. Операторы сдвига определяются соотношениями
(К f\/n\-J °* ЄСЛИ П==0'
(ЗД)(я)-{ /(«_!), если «^1, (SLf) (п) = / (п-\-1) для всех п^О.
(d) Показать, что ух—нетривиальный идемпотепт, если ху = е Ф ух.
(e) Если dim Л < оо, то равенство ух = е эквивалентно равенству ху = е^
2. Пусть х?А, у ? А.
(a) Доказать, что элемент е—ух обратим, если обратим элемент е—ху* Указание. Если г — обратный к е—ху, то рассмотрите е-\-угх.
(b) Пусть Х?С, КфО и Я,?о (ху). Доказать, что X(^o (ух). Показать,, что, однако, о (ху) может содержать точку X = O, тогда как о (ух) не содержит этой точки.
(c) Доказать, что если элемент х обратим, то о (ху) =о (ух).
3. Пусть Q—открытое множество в С и отображения /: Q—> А и <р: Q —> С голоморфны. Доказать, что отображение <pf: Q —> А голоморфно. [Этот факт в частном случае ф (X) = Хп использовался при доказательстве теоремы 10.13.]
4. Доказательство теоремы о непустоге спектра о (х) может быть основано на теоремо Лиувилля 3.32 и том факте, что (Xe—л:)-1—>0 при X—> оо. Восполнить детали.
5. Элемент х?А называется топологическим делителем нуля, если существует такая последовательность элементов из А, что ||j/wJ(=1 и
lim хуп = 0= Hm упх.
П-У 05 П -*¦ со
(a) Доказать, что каждая граничная точка х множества всех обратимых элементов алгебры А является топологическим делителем нуля. Указание*
Положите уп = Xn1IW хп ¦Ml.
где Xn-> X.
(b) Какие банаховы алгебры не имеют топологических делителей нуля,, отличных от элемента О?
6. Пусть K = [X^C: К|М<2}. Положим f(X) = X. Пусть Л—наименьшая замкнутая подалгебра в С (К), содержащая 1 и функцию /. Пусть В — наименьшая замкнутая подалгебра в C(K), содержащая функции / и 1//. Описать спектры од (f) и ад (/)•
