Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 107

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 171 >> Следующая

Если Хфа и Хф$, то соотношения
корректно определяют (XI — 71J-1. Таким образом, о (Tn) = {а, ?} и T0^Aq. Согласно утверждению (а) теоремы 10.33, имеем
(2) J(To) = CL
Положим x3-x1-j-x2, и пусть A4 одномерное подпространство в X, порожденное вектором х:}. Обозначим через б расстояние о г Г0х3 до A4. Тогда о > 0, так как Т(]хя = ахі -f- ?#2 и ot-/-?. Пусть Q0 — объединение компонент множества Q, содержащих точки а и ? (конечно, таких компонент одна или две). Пусть U — множество всех тех T ? А, для которых
(3) ,,г-Го,|<-рЛГ и o(T)c=Qe-
Тогда U — окрестность оператора T0. Мы покажем, что множество J(U) не содержит ни одного из операторов f (Т0)-\- r\S, где цфО, а оператор S^A определяется соотношениями
(4) Sx1 = x3, Sy = O при y?Y.
Можно рассуждать от противного. Предположим, что о (T) czQ0, •цФ 0 и
(5) J(T) -f(T0) + nS = d + nS. Тогда
(6) J(T)x3-(c-j-t])x3, J (T) у = су при у ? Y.
Таким образом, c-f-т) есть собственное значение оператора /(T) с собственным подпространством М. Так как функция /—(с +Tj) не обращается в нуль ни в точке а, ни в точке ?, то она не обращается тождественно в нуль ни в какой компоненте множества Q0. Поэтому, согласно утверждению (с) теоремы 10.33, имеем с+ т| — f (у) для некоторого собственного значения Y оператора Т. Из утверждения (а) теоремы 10.33 легко вытекает, что собственное подпространство оператора T1 отвечающее собственному значению 7, содержится в A4, а так как dimAf=l, то оно совпадает с A4. Поэтому Tx3 ? A4. Следовательно, имея в виду выбор числа д, мы получаем
(7) 6 < Il Tx3-T0x31|< Il T-T01|||*3||.
Таким образом, T не содержится в U. Щ
10.43. Экспоненциальная функция. Для иллюстрации полученных результатов посмотрим, что мы можем сказать по поводу экспоненциальной функции, которая в каждой банаховой алгебре
288 ЧАСТЬ 3 БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Л определяется степенным рядом (см. также п. 10.30)
exp (X) = ^ ^ Xя.
,2 = 0
(a) Если g (х) не содержит никаких двух различных точек, расстояние между которыми равно целочисленному кратному 2ш, то ввиду компактности множества g(x) (числовая) функция ехр (л.) однолистна в подходящем открытом множестве Qz)CT (х). Поэтому, согласно теореме 10.41, отображение ехр есть диффеоморфизм окрестности Aq точки x на некоторое открытое множество в А.
(b) Производная Фреше от ехр в точке х равна
(D ехр)х = ехр(х)Ф(Сх), где целая функция Ф определяется равенством
ф{1)== ехр (X)-I ^
Это вытекает из последнего утверждения теоремы 10.38, так как для функции / (к) =ехр(к) имеем f{m) = f при всех т~^\.
Нулями функции Ф служат точки 2kni, & = ±1, ±2, ... . Если ни одна из этих точек не попадает в о (Cx), то оператор
Ф(СХ) обратим (в силу теоремы об отображении спектров), так что (D ехр).,. и ехр снова являются диффеоморфизмами вблизи точки х.
(c) В дальнейшем мы покажем (теорема 11.23), что
g(Cx)czg (х) — g (х).
Тем самым устанавливается связь между рассуждениями в (а) и (Ь).
(d) Если алгебра А коммутативна, то оператор (Dexp)v обратим для каждого х(;Л, поскольку он просто совпадает с оператором умножения на обратимый в А элемент ехр (х) (теорема 10.36). Следовательно, как и в классической ситуации Л — С, отображение ехр оказывается локальным диффеоморфизмом. Вместе с тем если А=33(Х), то ввиду теоремы 10.42 при dim X > I это отображение не будет открытым отображением из А в А.
Группа обратимых элементов
Теперь мы несколько более внимательно рассмотрим структуру мультипликативной группы G = G(A) всех обратимых элементов банаховой алгебры Л.
Компоненту G, содержащую единицу е этой группы, обозначим через Gj. Иногда G1 называют главной компонентой группы G. Напомним, что, по определению компоненты (топологического
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
289
пространства), G1 совпадает с объединением всех связных подмножеств в G, содержащих е. Группа G содержит множество
ехр (А) = {ехр (х): X Z А], т. е. образ экспоненциальной функции в А. Это происходит потому, что элемент ехр(—х) служит обратным к ехр(х). Действительно, степенной ряд, определяющий ехр(х) (см. п. 10.43), приводит к функциональному уравнению
ехр {X-{-у) = ехр {х) ехр {у),
которое выполняется при условии, что ху = ух. Кроме того, конечно, ехр (0) = е.
Заметим еще, что G является топологической группой (см. п. 5.12), поскольку умножение и переход к обратному—непрерывные операции.
10.44. Теорема, (a) G1 есть открытый нормальный делитель в G.
(b) G1 совпадает с подгруппой, порожденной множеством ехр (Л).
(c) Если алгебра А коммутативна, то G1 = ехр (Л).
(d) Если алгебра А коммутативна, то факторгруппа GjG1 не имеет элементов конечного порядка (за исключением единицы).
Доказательство, (а) Согласно теореме 10.11, каждый элемент X(^G1 служит центром некоторого открытого шара Uy целиком входящего в G. Так как шар U пересекается с G,, связен и содержится в G, то UcG1. Поэтому G1 открыто в G.
Если XZG1, то X-1G1 является связным подмножеством в G, содержащим х~хх = е. Поэтому X-1G1CzG1 для каждого x?G,. Тем самым установлено, что G1—подгруппа в G. Далее, для каждого у^G множество y~xG^y является подмножеством в G, содержащим е, причем это подмножество гомеоморфно G1 и, следовательно, связно. Поэтому y~lGtycGx. В соответствии с определением последнее означает, что G1—нормальный делитель (нормальная подгруппа) в G.
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed