Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(Ь) Если А—коммутативная банахова алгебра, то каждый ее максимальный идеал замкнут.
Доказательство, (а) Пусть J—собственный идеал алгебры А. Обозначим через 3і семейство всех собственных идеалов ал-
296
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
гебры Л, содержащих идеал J. Семейство 3і частично упорядочено по включению. Пусть Q1—максимальное линейно упорядоченное подсемейство в 3і (существование такого подсемейства вытекает из теоремы Хаусдорфа о максимальности и логически эквивалентно аксиоме выбора). Обозначим через M объединение идеалов, входящих в семейство (S. Ввиду линейной упорядоченности семейства (2 это объединение само оказывается идеалом. Очевидно, что JcM. Кроме того, МФ А, поскольку пи один из идеалов семейства U не содержит единицы алгебры А. Из максимальности семейства OL вытекает, что M есть максимальный идеал в А.
(Ь) Допустим, что M—максимальный идеал в А. Так как идеал M не содержит обратимых элементов алгебры А, а множество всех обратимых элементов открыто, то M тоже не содержит ни одного обратимого элемента. Таким образом, M является собственным идеалом в Л, а так как M—максимальный идеал, то
M = M.
11.4. Гомоморфизмы и факторалгебры. Если А и В— коммутативные банаховы алгебры и ф—гомоморфизм из А в В (см. п. 10.4), го нуль-пространство, или ядро, гомоморфизма ф является, очевидно, идеалом в Л, причем этот идеал тогда и только тогда замкнут, когда гомоморфизм ф непрерывен.
Обратно, предположим, что J—замкнутый собственный идеал в алгебре Л и я: А—*¦ А/J—факторотображение, определяемое в соответствии с п. 1.40. Тогда А/J является банаховым пространством относительно соответствующей факторнормы (теорема 1.41). Мы покажем, что на самом деле А/J является банаховой алгеброй, а я—гомоморфизмом.
Если х' — xZJ и у' — у?/, то, как показывает тождество
(1) х'у'—ху = (х'—х)у' + х(у'—у),
имеем х'у'—xyZJ- Поэтому л: (х'у') = я (ху). Следовательно, на AjJ можно корректно ввести умножение, полагая
Легко убедиться, что при этом А/J становится комплексной алгеброй, а я—гомоморфизмом алгебр. Так как || я (х) || ^ || х \\, то в соответствии с определением факторнормы гомоморфизм я непрерывен.
Пусть теперь X1ZA (I = 1, 2) и б > 0. Тогда, снова по определению факторнормы,
(2)
л (х) л (у) = л (ху) (xZ А, у Z А).
+ 2)
(X1 + Уг) (х2 + у2) Z X1X2 + Jt
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
297
ТО
(4) Il я (X1X2) К ^ К (X1 + Ij1) (X2 + у2) К < Il X1 + у, И И X2 + у2 Il. Поэтому из (3) вытекает мультипликативное неравенство
(5) Il Я (AJ1) Я (ХЯ)||< И Я (X1) И И Я (JC1) ||.
Наконец, если е—единица алгебры А, то, согласно (2), элемент я(е) служит единицей алгебры AjJ. Так как л(е)ФО, то из (5) вытекает, что || я (е) || ^ 1 = |1 е ||. Кроме того, || я (х) \\ ^ || х\\ для каждого х?А, так что ||я(е)|| = 1. Доказательство закончено.
Утверждение (а) следующей ниже теоремы составляет один из ключевых фактов всей развиваемой здесь теории. Фигурирующее в этой геореме множество А в дальнейшем наделяется некоторой компактной хаусдорфовой топологией (теорема 11.9). После этого изучение любых коммутативных банаховых алгебр в большой степени удается свести к изучению более привычных (и более специальных) объектов, а именно алгебр непрерывных комплексных функций на А с поточечными операциями сложения и умножения. Вместе с тем теорема' 11.5 имеет интересные конкретные следствия даже без предварительного введения указанной топологии, и это обстоятельство иллюстрируется в п. 11.6 и 11.7.
11.5. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра и А—множество всех (ненулевых) комплексных гомоморфизмов алгебры А.
(a) Каждый максимальный идеал алгебры А есть ядро некоторого гомоморфизма h ? А.
(b) Ядро каждого гомоморфизма h ? А есть максимальный идеал алгебры А.
(c) Элемент х?А тогда и только тогда обратим в А, когда Н(х)фО для каждого /г?А.
(d) Элемент X (E А тогда и только тогда обратим в А, когда X не содержится ни в одном собственном идеале алгебры А.
(e) к?б(х) в том и только в том. случае, если 1K = H(X) для некоторого h ? А.
Доказательство, (а) Пусть M—максимальный идеал в Л. Тогда идеал M замкнут (теорема 11.3), так что факторалгебра A/M является банаховой алгеброй. Выберем элемент х ? А, такой, что X ^M, и положим
(1) J = {ax-\-y: а?А, у?М).
Так как х^М, то J является идеалом в А, более широким, чем М. [Элемент X представляется в виде ex -f О Є J.] Таким образом, J = А и ал; + # = едля некоторых а € А и у ?М. Если я: А —> A/M— факторотображепие, то я (а) я (х) — я (е). Поэтому каждый непулевой элемент алгебры A/M обратим в этой алгебре. По теореме
298 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ AJ]TFBPbI И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Гельфанда—Мазура существует изоморфизм / между A/M и С Положим h = /отс. Тогда h ? А и M служит ядром гомоморфизма /і_
(b) Если к ? А, то h~l(0) — идеал в А, причем этот идеал максимален, ибо его коразмерность в А равна 1.
(c) Если х—обратимый элемент в А и h^A, то
h (х) h (х~l) = h (XX-*) = h (е) = 1,
так что h (х) Ф 0. Если х не является обратимым, то рассмотрим, множество \ах\ а? А). Это множество, очевидно, является идеалом,, причем не содержащим е и, следовательно, собственным. Поэтому оно содержится в некотором максимальном идеале (теорема 11.3)-и, согласно утверждению (а), аннулируется соответствующим гомоморфизмом /г ? А. В частности, h(x) = 0.
