Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 105

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 171 >> Следующая

т= 1
Обозначения, использованные в формуле (3), быть может, требуют некоторых пояснений. Слева в (3) символом / обозначена
функция, действующая из Aq в А. Справа / употребляется для обозначения функции из 33(A)q в 33(A). Таким образом, обе
части формулы (3) представляют элементы алгебры 33 (А).
Доказательство. Если M > || (Ie—я)-11| для всех I из Г и если 2М \\ у Il < 1, то, как показывает теорема 10.11, норма разности между ~f(x-{-y) — f (х) и правой частью формулы (1) не превосходит произведения 2M3H у ||2 на длину контура Г и на максимум функции | /| по контуру Г. Отсюда следует формула (1).
Пусть g (I) ? S3 (А) — подынтегральное выражение в (2). Так как переход к обратному есть непрерывная операция в каждой банаховой алгебре, в том числе в алгебре 33(A), то g—непрерывная функция на Г и, следовательно,
(5) Т = \ g(l) dl
г
282
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
— корректно определенный элемент из 33 (А). Из (5) вытекает, что
(6) Ty=lg(k)ydX (у G А).
г
Но g(X)y есть в точности подынтегральная функция в правой части формулы (1). Поэтому формула (6) показывает, что T=
= 2ni (Df)x, и соотношение (2) установлено.
Быть может, нелишне более детально проследить, как формула
(6) получается из формулы (5) и определения 3.26. Именно, если FGA* (где Л*— пространство, сопряженное кА),у?А HF1S-=-F(Sy) при SG® (А), то F1 G 33 (Л)* и
F(Ty) = F1T = ] Flg(X)dX-^F(g(X)у)dX = F ^g(X)уdX. г г г
Вернемся к формуле (2). Если хп->х, то контур Г из (2) будет охватывать о (хГ1) в 12 для всех п, кроме, быть может, конечного числа. Отбросим это конечное множество. Тогда (Df)xn будет задаваться формулой (2) с заменой х на Xn в подынтегральном выражении. Так как
(7) (Xe—Xn)*1-+(Xe—я)-1 при п-+ оо
равномерно на Г, то подынтегральные функции в (2) будут равномерно сходиться. Поэтому мы приходим к заключению, что
отображение X-^(Df)x непрерывно. Таким образом, функция / непрерывно дифференцируема.
Так как Rx = Lx-{-Cx, то формула (3) есть просто другая запись формулы (2).
Пусть контур Г в (2) есть окружность радиуса г>3||х|| с центром в точке 0. Тогда
11(XZ-LJ-1Il =
X-^1Lx
п = 0
п = 0
для всех X из Г, так что
(8) ||(X/_^-i||.||Cx||<1|i^lL<l.
В силу неравенств (8) выкладки, проделанные в формуле (6) п. 10.35, оказываются применимыми к (Qf) (Lx, Cx). Поэтому
со
<9) (Qf)(Lx; сх)=^^1(т)(Lx)C™-1.
т = 1
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
283:
Наконец, формула (4) вытекает из (3) и (9), поскольку
(10)
~g(Lx)y = ±$g(b) {U-Lx)-1 у dl =
= 4u^S?) (Xe—x)->ydX = ~g(x)y
Г
для каждого у?А и каждого g^H (Q), в частности для f{m). Щ Ряд (4) действительно может оказаться расходящимся, если функция / обладает особенностью на расстоянии 31| х || от начала координат. Пример такого сорта приведен в упр. 22. Поэтому константа 3 в последней части теоремы 10.38 является наилучшей.
Если алгебра А коммутативна, то C^ = O. При этом среди членов ряда (4) сохраняется только член cm=], и это согласуется с теоремой 10.36.
Следующая теорема позволит нам получить информацию относительно локальных свойств отображения, осуществляемого функцией J из теоремы 10.36.
10.39. Теорема об обратной функции. Предположим, что
(a) W есть открытое множество в банаховом пространстве Xr
(b) F: W X—непрерывно дифференцируемое отображение;
(c) для каждой точки х Є W производная (DF)x является обратимым элементом алгебры 93 (X).
Тогда каждая точка а ? W обладает такой открытой окрестностью U, что
(i) отображение F инъективно на U;
(ii) множество F(U) = V открыто в X;
(Hi) отображение F'1: V-*-U непрерывно дифференцируемо.
Заключение теоремы можно кратко сформулировать, сказав,, что отображение F является локальным диффеоморфизмом.
Доказательство. Если а ? W, T = (DF)n и
то так определенная функция / удовлетворяет условиям теоремы с заменой W на W—а. Если утверждение теоремы верно для /, то оно верно и для F. Поэтому мы можем рассматривать / вместо F. Другими словами, не ограничивая общности, мы можем (и будем) считать, что
(1)
[(X) = T-1 [F(а-I дс)—,Р(а)1 (x?W-a),
(2)
F (0) = 0, (DF)0 = I.
При этом мы должны доказать, что точка 0 обладает окрестностью* V1 удовлетворяющей условиям (І), (ІІ) И (ІІІ).
284 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Фиксируем некоторое а, для которого 0<а< 1. Пусть
(3) ф (х) = x—F(x) (x?W).
Тогда (D(p)0 = 0, а так как ф непрерывно дифференцируемо в VF, то найдется такой открытый шар BcW с центром в точке 0, что
(4) II (D(P)x у < а, если x Є В. nvc-гь х'?В, х"?В, xt = (l — t) x' + tx" и -(5) "Ф(0 = Ф(*<) (0<*<1).
Тогда отображение [0, 1]—непрерывно дифференцируемо, и по правилу дифференцирования сложной функции
(6) я,'/(O = (D9U*"-*') (* = *,)• Поэтому из неравенства (4) вытекает, что
(7) \\V(t)\\^a\\x"-x'\\.
Заметим, что xt?B ввиду выпуклости этого шара. (См. упр. 10.) Так как
і
(8) Ф (х") - ф (*') = iK 1) -ф(0) = J ф' (0 Л,
о
то на основании неравенства (7) мы заключаем, что отображение Ф удовлетворяет условию Липшица:
(9) И Ф(х")—ф(х') ||<а II*"—X'И (х'€В, х'?В). Теперь из формулы (3) следует, ЧТО
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed