Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, w (Q) > 0, если Q—непустое открытое подмножество в А.
Далее, пусть гр—любая борелевская функция на А, причем |фК1. По теореме Лузина, найдется такая последовательность функций /„ ? C(A), ^ 1, которая сходится к гр по норме L2 (т)х).
*) Здесь, в сущности, требуется меньше, чем теорема Лузина (в ее обычной интерпретации). Так как мера т регулярна, то С (4) плотно в L2 (т). Теперь достаточно взять какую-нибудь последовательность функций gn ? С (\), сходящуюся к ф, и заменить gn на gnl\cn\ в тех точках, где I Sn I > !•—Прим. ред.
308
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Так как отображение /—* f перестановочно с переходом к комплексно сопряженным функциям (это мы доказали выше) и, кроме того, является гомоморфизмом, то из формулы (10) в применении к (/,-—fj)(fi—fj) вытекает, что
1
(11) [V1-J1Y dm-^fi-f;]* dm.
А 0
Таким образом, \fn) является последовательностью Коши в L2 (т). Далее, I/„|<! 1 почти всюду по мере т. Поэтому существует такая функция f?Lw(m), что /„—*¦/ в L2(m). Из формулы (11) теперь вытекает, что /„—> / в Ь2(т). Поэтому ф = / почти всюду по мере т.
Таким образом, каждая ограниченная борелевская функция ф на А почти всюду по мере т совпадает с некоторой функцией П С (А).
Получается, что C(A) и L00 (т) совпадают, если их рассматривать как банаховы пространства!
Другое следствие последнего результата состоит в том, что пространство А экстремально несвязно. Это означает по определению, что замыкание каждого открытого множества открыто. [Следовательно, непересекающиеся открытые множества обладают непересекающимися замыканиями.]
Для доказательства рассмотрим некоторое открытое множество
Q0 в Д. Пусть Q1—дополнение к замыканию Q0 множества Q0 и ф—характеристическая функция множества Q1. По доказанному мы можем выбрать функцию f?C(A), совпадающую с ф
почти всюду но мере т. Так как ф — 0 в Q0 и так как непустые открытые множества имеют положительную меру, то из непрерывности функции f вытекает, что f (р) = 0 в каждой точке p(EQ0. Аналогично / (р) — 1, если р ? Q1. Множество тех точек, в которых значение функции / отлично от 0 и 1, имеет меру 0, поскольку / и ф совпадают почти всюду. Вместе с тем это множество открыто. Поэтому оно пусто. Пусть /С,- = \р Z A: f(p) = i\, і —0,1. Тогда K0 и K1 — непересекающиеся компакты, а их объединение совпадает с А. Поэтому каждое из этих множеств открыто. Далее, Q0CTC0, Q1CfC1- Отсюда вытекает, что Q0 = ZC0, и доказательство закончено.
Попутно мы доказали, что границы открытых множеств имеют меру 0, так как т (Q0) = т (K0).
В заключение мы остановимся на одном применении полученных результатов к теории меры. Если E и F—измеримые множества, то будем говорить, что множество F почти содероісит
ГЛ. П. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
309*
множество Е, если F содержит все точки множества Е, за исключением множества меры 0, т. е. если т (E\F) = 0.
Объединение несчетного семейства измеримых множеств не всегда измеримо. Однако имеет место следующее:
Если {Еа\—произвольное семейство измеримых подмножеств в [0, 1], то существует такое измеримое множество E cz [0, 1], что
(і) множество E почти содержит каждое из множеств Еа\
(W) если измеримое множество F почти содержит каждое из множеств Еа, то оно почти содержит и множество Е.
Таким образом, множество E представляет собой точную верхнюю грань семейства {E0]. Существование такого множества E означает, что булева алгебра измеримых множеств (по модулю множеств меры 0) полна.
Техника, которой мы теперь располагаем, позволяет дать очень простое доказательство.
Пусть fa—характеристическая функция множества Еа. Ее преобразование Гельфанда fa является характеристической функцией некоторого открытого (и замкнутого) множества Qa cz А. Пусть Q—объединение всех таких множеств Qa. Тогда множество Q
открыто и вместе с тем открыто его замыкание Q. Существует
такая функция / ? L°° (т), что / есть характеристическая функция
множества Q. Искомое множество E состоит из тех точек х? [0, 1], для которых / (х) = 1.
Инволюции
11.14. Определение. Отображение х—>х* комплексной (необязательно коммутативной) алгебры А в себя называется инволюциейг если это отображение обладает следующими четырьмя свойствами (для всех X ? А, у G А и С):
Другими словами, инволюция—это сопряженно-линейный антиавтоморфизм периода 2.
Элемент X ? А называется эрмитовым, или самосопряженным,. если х* = х.
Например, /—>f есть инволюция на алгебре C(X). Другой пример, представляющий для нас наибольший интерес в связи с дальнейшим, — переход от оператора в гильбертовом пространстве к сопряженному оператору.
(1)
(2) (3) (4)
+ = + (Xx)* =1х*, (ху)* г= у*х*,
310 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
11.15. Теорема. Пусть А—банахова алгебра с инволюцией и je € А. Тогда
(a) элементы х-\-х*, і (х—л:*) и хх* эрмитовы;
(b) элемент X однозначно представим в виде x = u-\-iv, где и и V—эрмитовы элементы из Л;
(c) единица е является эрмитовым элементом;
(d) элемент X тогда и только тогда обратим в А, когда обратим элемент X*, причем в этом случае (х*)~1 = (х~1)*;