Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Так как существует взаимно однозначное соответствие между максимальными идеалами алгебры А и элементами множества А (теорема 11.5), то множество А, снабженное топологией Гельфанда, называется пространством максимальных идеалов алгебры А.
Термин «преобразование Гельфанда» применяется также для отображениях—>х алгебры Л на Л.
Радикалом алгебры А называется пересечение всех максимальных идеалов этой алгебры. Радикал обозначается rad Л. Если гааЛ = {0}, то алгебра Л называется полупростой.
11.9. Теорема. Пусть А—пространство максимальных идеалов-коммутативной банаховой алгебры А.
(a) Пространство А хаусдорфово и компактно.
(b) Преобразование Гельфанда есть гомоморфизм алгебры А на подалгебру А алгебры C(A), причем ядро этого гомоморфизма совпадает с радикалом rad Л алгебры А. Следовательно, преобразование Гельфанда тогда и только тогда является изоморфизмом* когда алгебра А полупростая.
гл. 11. коммутативные банаховы алгебры
ЗОЇ
(с) Для каждого элемента х Z А множество значений функции X совпадает со спектром о (х) этого элемента. Поэтому
1Й1»=р(*)<1М|.
где Il X К я,—максимум функции \x(h)\ на А, а включение х Z rad А имеет место тогда и только тогда, когда р(х) = 0.
Доказательство. Сначала мы докажем утверждения (Ь) и (с). Пусть X Z А, у Z А, а ?С и hZ А. Тогда
(ах)" (h) = h (ах) = ah (х) = (ах) (п), (х + уГ (h) = h (X + у) = h (X)+h(y) = x (А) + у (h) = (х+у) (h)
и
(ху)Л {h) = h (ху) = h(x)h (у) = x(h)y (h) = (х у) (п).
Поэтому отображение х—>х является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит из тех х?Л, которые удовлетворяют условию h(x) = 0 при каждом hZ А. По теореме 11.5 множество таких элементов X Z А совпадает с пересечением всех максимальных идеалов алгебры А, т. е. с гааЛ.
Число X тогда и только тогда принадлежит множеству значений функции х, когда X = x(h) = h(x) для некоторого hZ А. Согласно утверждению (е) теоремы 11.5, это эквивалентно тому, что Х?о(х). Тем самым утверждения (Ь) и (с) доказаны.
Для доказательства утверждения (а) обозначим через Л* пространство, сопряженное к Л (как банахову пространству), и пусть К—замкнутый по норме единичный шар пространства Л*. По теореме Банаха—Алаоглу множество К является слабо* компактным. Согласно утверждению (с) теоремы 10.7, имеем Ас/С. Очевидно, что гельфандовская топология на А совпадает с топологией, индуцированной на А слабой* тополегией пространства А*. Поэтому достаточно показать, что А является слабо* замкнутым подмножеством в Л*.
Допустим, что точка A0 принадлежит слабому* замыканию множества А. Мы должны показать, что
(1) А0(ху)=А0хА0у (X ? А, у Z Л) и
(2) A0C=I.
[Заметим, что проверка условия (2) обязательна: в противном случае функционал A0 мог мы оказаться нулевым, а пулевой
гомоморфизм не принадлежит А.]
Фиксируем X Z Л, у ZlA и є>0. Положим
(3) W = \AZA*: IAz1-A0ZzKe при 1</<4},
где Z1 = е, Z2 = X, Z3 = у и zt = xy. Тогда множество W служит
302
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
слабой* окрестностью точки A0 и поэтому содержит некоторый гомоморфизм h G А. Для этого гомоморфизма h имеем
(4) \\-A0e\ = \h(e)-A0e\<e1
откуда вытекает (2), и, кроме того,
A0 (ху)—А0хА,у = [A0 (xy)-h(xy)] + [ft (х) h(у) —А0хА0у] = '-= [A0 (ху) — /г (ху)] + [!г (у) —А0у] h (х) -f [h (х) —A0X] А0у,
откуда получается
<5) IA0 (ху)-А0х А0у |< (1 + И X Il +1 Avy [) е.
Но из (5) вытекает (1), и доказательство закончено. Щ
Все полупростые алгебры обладают одним важным свойством, которое выше уже отмечалось в отношении алгебры С.
11.10. Теорема. Если яр: В—*¦ А—произвольный гомоморфизм коммутативной банаховой алгебры В в полупростую коммутативную банахову алгебру Ау то этот гомоморфизм яр непрерывен.
Доказательство. Допустим, что Xn—*х в В и \\>(хп)—*у в Л. По теореме о замкнутом графике достаточно показать, что У = Ъ(х).
Пусть Ал и An — пространства максимальных идеалов соответствующих алгебр. Фиксируем гомоморфизм /г?Ал и положим <р = /гояр. Тогда ф?Ад. По теореме 1 >.7 гомоморфизмы h и ф непрерывны. Следовательно, для каждого гомоморфизма h G Ал имеем
h (у) = Hm h (ф (хп)) = lim ф (хп) = ф (х) = h (яр (х)).
Поэтому у—яр (л,) G гас! А. Так как гас1Л = {0}, то y = ty(x). Щ
Следствие. Каждый изоморфизм между полупростыми коммутативными банаховыми алгебрами является гомеоморфизмом.
В частности, это относится к автоморфизмам пол у простых коммутативных банаховых алгебр. Поэтому топология любой такой алгебры полностью определяется ее алгебраической структурой.
Алгебра А, описанная в теореме 11.9, не обязательно является замкнутой подалгеброй в C(A) относительно sup-нормы. Будет она замкнутой или нет, зависит от соотношения между || х2 || и IIX||2 для всехX G А. Напомним, что неравенство || х2 \\^\\х ||2 всегда выполнено.
11.11. Лемма. Пусть А — произвольная коммутативная банахова алгебра и
(1) r^infl^jL, s = infli!jp (XGA1 хфО).
Тогда s2<r<s.
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
303
Доказательство. Так как ||#||a>^s||#||, то
(2) \\#\\>\\#\\- = \\1\\1>з*\\х\\*
для каждого х ? А. Таким образом, s2<>.
