Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(e) l?o(x) тогда и только тогда, когда 1K^o(X*).
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Если 2и = = х~\-х*, 2v = i(x*—х), то x = u-{-iv есть представление, существование которого утверждается в (Ь). Допустим, что х = и' -f- iv'—¦ еще одно такое представление. Положим w = v'—v. Тогда оба элемента w и iw эрмитовы, так что
iw = (iw)* =— iw* =— iw.
Поэтому w = 0, откуда вытекает единственность.
Так как е* = ее*, то утверждение (с) вытекает из (а). Утверждение (d) вытекает из (с) и равенства (ху)* = у*х*. Наконец, (е) получается из (d) в применении к 1Ke—х. Щ
11.16. Теорема. Если банахова алгебра А коммутативна и полупроста, то каждая инволюция на А непрерывна.
Доказательство. Пусть h — ком плексный гомоморфизм алгебры Л. Положим <$(x) = h(x*). Из условий (1)—(3) определения 11.14 вытекает, что <р является комплексным гомоморфизмом. Поэтому ф непрерывно. Допустим, ЧТО Xn—>Х И Xn—*у в Л. Тогда
h (х*) = ф (х) = lim ф (хп) = lim h (хп) = h (у).
Так как алгебра Л иолу проста, то у = х*. Поэтому из теоремы о замкнутом графике вытекает, что отображение х—>х* непрерывно. Щ
11.17. Определение. Банахова алгебра Л с инволюцией л:— удовлетворяющей условию
(1) Il хх* \\ = II X |р
для каждого А'?Л, называется В*-алгеброй.
Заметим, что из условия || х ||а = JJ хх* || < || х || • || х* || вытекает, что |М|<||**||. Далее,
Il х* ||< К *~ Il = || ||. Таким образом, в любой В*-алгебре <2) IkI = IMI-
ГЛ. 11. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
311
Кроме того, получается, что
(3) Il хх* Il = \\ X И Il **||.
Обратно, из условий (2) и (3) вытекает условие (1). Следующая теорема будет служить основным инструментом для доказательства спектральной теоремы в гл. 12.
11.18. Теорема (Гельфанд—Наймарк). Пусть А—коммутативная В'*-алгебра с пространством максимальных идеалов Д. Тогда преобразование Гельфанда является изометрическим изоморфизмом алгебры А на С (А) и обладает тем дополнительным свойством, что
(1) h(xm) = hjx) {X Z А, А6Д), или (что эквивалентно)
(2) {х*У = х (X Z А).
В частности, элемент х эрмитов тогда и только тогда, когда X—вещественная функция.
Условие (2) можно толковать в том смысле, что преобразование Гельфанда превращает заданную инволюцию на алгебре А в естественную инволюцию алгебры C(A)—комплексное сопряжение. Изоморфизмы такого типа, сохраняющие инволюцию, называются *-изоморфизмами (иногда — инволютивными изоморфизмами).
Доказательство. Пусть hGА и элемент и из А эрмитов, т.е. и* = и. Мы докажем сначала, что в таком случае h (и)—вещественное число. При вещественных / положим Z = и + Не. Если И(и) = а-\~ф, где an? вещественны, то
ft (г) = а + /(? +0, гг* = ы2 + /2е,
так что
а2 + (Р + /)2 = |/1(2)|2<||г|р = ||гг*||<||«||2 + /2,
или
(3) a2 + ?2 + 2p/<||«||2 (— оо</<оо).
Из неравенства (3) вытекает, что ? = 0, т. е. что h (и) вещественно. Каждый элемент х ? А можно представить в виде х = и + iv,
где и = и*, v = v*. При этом X* = и — iv. Так как функции и и v вещественны, то отсюда вытекает (2).
Таким образом, алгебра А замкнута относительно перехода к комплексно сопряженным функциям. Следовательно, по теореме Стоуна — Вейерштрасса, алгебра А плотна в C(A).
Если х?А и у = хх*, то у = у*, так что ||#2|| = ||#||2. Индукцией но п отсюда получается, что || ут || = \\у \\т при т —2м. Поэтому из формулы спектрального радиуса и утверждения (с) тео-
312 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
ремы 11.9 вытекает, что ||#||» = ||#||. Так как у = хх*, то из (2) -следует, что у=\х\2. Поэтому
II X \\1 = || y\U = \\y \\ = II XX* 11 = Il X ||2,
или И л; И» = И л: ||. Таким образом, х—> х есть изометрия. Следо-
вагелыю, алгебра А замкнута в C(A). Но мы уже доказали, что
она плотна в C(A). Тем самым Л = С(Д), и теорема полностью доказана. Ц
Следующая теорема представляет собой частный случай только что доказанной. Она будет установлена в такой форме, где фигурирует отображение, обратное преобразованию Гельфанда, что позволяет выявить контакты результатов такого сорта с функциональным исчислением.
11.19. Теорема. Пусть А—коммутативная В*-алгебра, содержащая такой элемент х, что полиномы от х и х* плотны в А. Тогда формула
о) mr=fox
определяет изометрический изоморфизм W алгебры С(о(х)) на ¦алгебру А, причем
(2) Wf= (Wf)'
-для каждого f ?С (о (х)). Кроме того, если J(K) = 1K на о(х), то Wf = x.
Доказательство. Пусть А — пространство максимальных идеалов алгебры Л. Тогда х есть непрерывная функция на А с множеством значений о(х). Мы покажем, что отображение х: А —> о (х) является гомеоморфизмом. Пусть Zi1 ? A, Zi2 ? А и х (Zi1) = = X (Zi2), т. е. Zi1 (х) = Zi2 (х). Согласно теореме 11.18, тогда Zi1 (х*) = = Н2(х*). Поскольку Zi1 и Zi2—гомоморфизмы, отсюда следует, что
H1(P(X1 X*)) = H2(P(X, X*))
для каждого полинома P от двух переменных. Но по предположению элементы вида P (х, х*) плотны в Л. Так как Zi1 и Zi2 непрерывны, то тем самым hx(y) = h2(y) для каждого у Є А. Дру-
гими словами, H1=H2. Это означает, что отображение х взаимно
однозначно. Так как А — компакт, то х—гомеоморфизм, что и утверждалось.
