Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
имеет фокус F ( —; О J и директрису х = — —; фокальный радиус-вектор
имеет фокус F (0; — J и директрису у = — —; фокальный радиус-вектор
точки М(х; у) на ней г = г/ + —.
211. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(O; 2) и от прямой у = А. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
212. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой ж = —4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
213. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у2 = 4ж; 2) у2 = —Ах; 3) ж2 = Ay; 4) ж2 = —Ау, а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
214. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0; 0) и (1; —3) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (0; 0) и (2; —4) и симметричной относительно оси Oy.
215. Канат подвесного моста имеет форму параболы (рис. 6). Написать ее уравнение относительно указанных на чертеже осей, если прогиб каната OA = а, а длина пролета ВС = 26.
216. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы у2 = 2рх и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
217. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой ж + у = 0 и
имеет фокус F у — ; OJ
точки М(х; у) на ней Парабола
2ру
У
ь_
Bi
А
X
Рис. 6
окружности ж2 + у2 + Ay = 0 и симметрична относительно оси Oy. Построить окружность, прямую и параболу.
11. Парабола
31
6ж найти точку, фокальный радиус-
218. На параболе у2 вектор которой равен 4,5.
219. Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть
в фокусе параболы?
220. Определить область расположения кривой у = —\J—x. Построить кривую.
221. Из вершины параболы у2 = = 2рх проведены всевозможные хорды. Написать уравнение геометрического места середин этих хорд.
222. Определить геометрическое место центров окружностей, касающихся окружности X2 + у2 = 2ах и
B1 B2 B3 B4 в
/ / /г4*
г
оси Oy.
223. Даны точки A(O; а) и В(а; а). Рис. 7
Отрезки OA и AB разделены на п
равных частей точками Ai, Ai, А%, ... и Bi, Bi, В%, ... (рис. 7). Пусть Mk — точка пересечения луча OBk с прямой AkMk\\Ox. Показать, что такие точки Mk лежат на параболе у2 = ах. Построить этим приемом параболы у2 = Ах, у2 = Ъх, у2 = Зж.
224. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой ж = 4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
225. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с Ox и построить ее.
226. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0; 0) и (—1; 2) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (0; 0) и (2; 4) и симметричной относительно оси Oy.
227. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой у = X и окружности ж2 + у2 + 6ж = 0 и симметрична относительно оси Ох. Построить прямую, окружность и параболу.
228. В параболу у2 = 2х вписан правильный треугольник. Определить его вершины (см. указание к задаче 173).
229. Написать уравнения касательных к параболе у2 = 8ж, проведенных из точки А(0; —2).
32
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
230. Через фокус параболы у2 = —Ах проведена прямая под углом 120° к оси Ох. Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.
§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго порядка
х2 у2
1°. Директрисами эллипса —- + — = 1 (при a > 6) и гиперболы
а2 о2
9 9
X у
—--- = 1 называются прямые, параллельные оси Oy и отстоящие от
а2 Ъ2
а
нее на расстояние —, где е — эксцентриситет кривой.
е
Уравнения директрис:
а , .
ж = ±-. (1)
Свойство директрис: отношение расстояний от точки кривой до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету кривой
T
1 = Є (2)
2°. Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд. Диаметрами эллипса и гиперболы оказываются отрезки и лучи прямых, проходящих через центр, а диаметрами параболы — лучи, параллельные ее оси.
Уравнение диаметра, делящего пополам хорды с наклоном tg а = к, будет
9 9
X^
для кривых — ± — = 1: а2 о2
Ь2
У = Т^тх; (3)
а2 к
для параболы у2 = 2рх:
У=\. (4)
Два диаметра эллипса и гиперболы, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно сопряженными. Их угловые коэффициенты к и к\ связаны зависимостью кк\ =
Ь2 , ^ Ь2 ,
=--- (у эллипса) и кк\ = — (у гиперболы).
а2 а2
3°. Уравнения касательной:
У2 Л XX0 ууо
к эллипсу — + — = 1 , ,
а2 о2 J а2 Ь2
fx2 у2 \ XX0 уу0
