Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
АфО A = O
S > 0 Эллипс (действительный или мнимый) Точка
S < 0 Гипербола Пара пересекающихся прямых
S = O Парабола Пара параллельных прямых (действительных или мнимых)
2°. Преобразование уравнения (1) к центру. Если S = А В ,
Q (J, то линия имеет центр, координаты которого находятся
из уравнений
Ф'х(х, у)= 0, Ф'у(х,у) = 0, (2)
где Ф(х, у) — левая часть уравнения (1). Перенеся начало в центр Oi (х0; 2/0) (рис. 10), приведем уравнение (1) к виду
Ах2 + 2Вхіуі + СуІ + Fi = 0, (3)
где
Fi = Dx0 +Ey0+F = (4)
S
3°. Преобразование уравнения (3) к осям симметрии. Поворотом осей ОіХі и Oij/i на некоторый угол <р (рис. 10) уравнение (3) приводится к каноническому виду:
AiX2 + C\Y2 + Fi = O. (5)
Коэффициенты Ai и С\ являются корнями уравнения
Л2 - {A+ C)X +S = 0. (6)
Угол поворота <р находится по формуле
42
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
4°. Преобразование уравнения линии второго порядка, не имеющей центра. Если S = 0, то линия не имеет центра или не имеет определенного центра. Ее уравнение можно тогда записать в виде
(ax + ?y)2 + ^Dx + 2Ey + F = O.
(8)
Случай 1.DmE пропорциональны а и ?: D = ma, E = m?. Уравнение (2) примет вид (ах + ?y)2 + 2m(ax + ?y) +F = O, откуда
?y
-га ±
F
пара прямых.
Случай 2. DwE не пропорциональны а и ?. Уравнение (8) можно переписать в виде
(ах + ?y + n)2 + 2m(?x - ay + q) = 0. (9)
Параметры га, п и q найдутся сравнением коэффициентов в уравнениях (8) и (9). Далее, приняв за ось 0\Х прямую ах + ?y + n = 0, за
ах + ?y + п
ay + q - ¦¦ .....—~-
ось Oi Y прямую ?x ?x — ay + q
О (рис. 11), найдем: Y
X
± V«2 + ?2
После этого уравнение (9) примет вид Y2 = 2рХ, где
О
\ У 4
Рис. 10
Рис. 11
р = —. :. Ось 0\Х направляется в ту полуплоскость, в которой
V«2 + ?2
?x — ay + q имеет знак, противоположный знаку га, как это следует из уравнения (9).
313. Выяснить геометрический смысл уравнений: 1) 4ж2 - у2 = 0; 2) 4ж2 + у2 = 0;
3) ж2 + у2 + 2ж + 2 = 0;
4) ж2 + у2 - 6ж - 8у + 25 = 0; 5) ж2 + ху = 0; 6) у2 -16 = 0; 7) ж2 - Зжу + 2у2 = 0.
15. Общее уравнение линии второго порядка
43
314. Найти центры и преобразовать к центру уравнения линий:
1) 2ж2 + Зу2 - 4ж + Qy - 7 = 0;
2) ж2 - у2 - Ax + 2у - 4 = 0;
3) 2ж2 + 5жу + 2у2 - 6ж - Зу - 8 = 0.
315. Поворотом осей координат преобразовать уравнения к каноническому виду и построить кривые:
1) 5ж2 - 4жу + 2у2 = 24; 2) 2ж2 + 4жу - у2 = 12.
316. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:
1) Зж2 - 2жу + Зу2 - 4ж - 4у - 12 = 0;
2) ж2 - бжу + у2 - 4ж - 4у + 12 = 0.
317. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:
1) ж2 + 4жу + 4у2 - 20ж + 10у - 50 = 0;
2) ж2 - 4жу + 4у2 - 6ж + 12у + 8 = 0
и построить их.
318. По дискриминантам S и А определить геометрический смысл уравнений:
1) ж2 - 4жу + Зу2 - 8ж + 14у + 15 = 0;
2) ж2 + 2жу + 4у2 - 2ж + 4у + 4 = 0;
3) ж2 + 4жу + 4у2 + Зж + 6у + 2 = 0.
Решив первое и третье уравнения относительно у, построить линии, определяемые этими уравнениями.
319. Привести к каноническому виду уравнение кривой у =
320. Написать уравнение кривой второго порядка, имеющей центром точку 0\(1; 2) и проходящей через начало координат и через точки (0; 4) и (1; —1).
параболы, построить параболу и найти ее вершину.
Указание. Повернуть оси координат на угол <р = —45°.
322. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у), отношение расстояния от каждой из которых до точки F(m; п) к расстоянию от нее до прямой ж cos а + у sin а — q = 0 равно е. Обозначив коэффициенты полученного уравнения через А, В,
\А В\
C1 ..., определить инварианты А + С и 8 \r> fA.
Зж2 - 12ж + 4 4ж - 8
и построить ее.
44
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
323. Выяснить геометрический смысл уравнений:
1) Xі - Ay2 = 0;
2) X2 + 2у2 + Ax - 8у + 12 = 0;
3) X2 + 5жу - 6у2 = 0.
324. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:
1) ж2 - ху + у2 - 2х - 2у - 2 = 0;
2) Зж2 + Южу + Зу2 - 12ж - 12у + 4 = 0.
325. Преобразовать к каноническому виду уравнения:
1) ж2 - 2жу + у2 - Wx - Qy + 25 = 0;
2) ж2 + 2жу + у2 - Ax - Ay + 3 = 0
и построить линии, изображаемые ими.
326. По дискриминантам S и А определить геометрический смысл уравнений:
1) ж2 - 2жу + у2 - Ax + Ay + 3 = 0;
2) ж2 - 2жу - Зу2 + Qx + 10у - 7 = 0.
Решив каждое уравнение относительно у, построить линию, определяемую им.
327. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у), отношение расстояний от которых до точки F(3; 3) к расстояниям
до прямой ж + у = 0 равно: 1) е = —; 2) е = 2.
328. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у), одинаково удаленных от точки F(a/2; a/2) и от прямой ж + у = 0, и привести его к каноническому виду.
329. Написать уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до прямой ж — 2у = 2 и до оси Ox остается постоянной и равной 3,2. Преобразовать его к каноническому виду и построить кривую.
§ 16. Полярные координаты
Пусть на плоскости дана точка О — полюс и луч OP — полярная ось (рис. 12). Тогда положение точки M на плоскости определится:
