Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 12

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 100 >> Следующая

284. Написать уравнение окружности, диаметром которой слу-
ж у
жит отрезок прямой —Ь т = 1, отсеченный осями координат. а Ъ
285. Найти расстояние от центра окружности ж2 + у2 + ay = 0 до прямой у = 2(а — ж).
286. Через центр окружности ж2 + у2 = 2аж проведена прямая, параллельная прямой ж + 2у = 0 и пересекающая окружность в точках А я В. Найти площадь ААОВ.
287. Показать, что геометрическое место точек М, которые удалены в то раз дальше от данной точки А, чем от другой данной точки В, есть прямая при то = 1 и окружность при m ф 1.
288. Отрезок AB разделен на части АО = а и OB = Ь. Показать, что геометрическое место точек, из которых отрезки АО и OB видны под равными углами, есть прямая при a = Ь и окружность при а фЬ (аполлониева окружность).
14. Смешанные задачи на кривые второго порядка
39
289. Определить траекторию точки М(х; у), движущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее до прямых у = кх и у = = — кх остается постоянной и равной а2.
290. Эллипс, симметричный относительно оси Ox и прямой X = —5, проходит через точки ( — 1; 1,8) и ( — 5; 3). Написать уравнение эллипса и построить его.
291. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в гиперболу X2 — у2 = а2.
292. Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины которого находятся в точках пересечения эллипса х2 + Зу2 = 12/2 и гиперболы X2 — Зу2 = б/2.
293. Окружность с центром в начале координат проходит через фокусы гиперболы X2 — у2 = а2. Найти точки пересечения окружности с асимптотами гиперболы.
294. Построить гиперболы ху = —4 и х2 — у2 = 6 и найти площадь AABC, где А я В — вершины двух пересекающихся ветвей гипербол, a С — точка пересечения двух других ветвей гипербол.
295. Доказать, что произведение расстояний любой точки ги-
а2Ь2
перболы от ее асимптот есть величина постоянная, равная ——.
с2
296. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного
X2
из фокуса параболы у =--на прямую, отсекающую на осях
8
координат отрезки а = Ь = 2.
297. Построить эллипс х2 + 4у2 = 4 и параболу х2 = 6у и найти площадь трапеции, основаниями которой служат большая ось эллипса и общая хорда эллипса и параболы.
298. Из фокуса параболы у2 = 2рх, как из центра, описана окружность так, что общая хорда кривых одинаково удалена от вершины и от фокуса параболы. Написать уравнение окружности.
299. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины параболы by = х2 + 2аж + а2-\-Ь2 на прямую, отсекающую на осях координат отрезки а и Ь.
300. Построить по точкам пересечения с осями координат параболы Ay = 12 — X2 я Ax = 12 — у2 и найти длину их общей хорды.
301. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках пересечения параболы у = 4 — ж2 с осью Ox и с прямой у = Зж.
302. Написать уравнение окружности, проходящей через на-
X ^
чало координат и через точки пересечения параболы у = — —
а
— 2х + а с осями координат.
40
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
303. Дан эллипс ж2 + 4у2 = 16. Из его вершины А(4; 0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин этих хорд и построить кривые.
304. Определить траекторию точки М(ж; у), движущейся так, что разность квадратов расстояний от нее до биссектрис координатных углов остается равной 8.
305. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(3; 4) и касающихся оси Ох.
306. Выделением полных квадратов и переносом начала упростить уравнение линии ж2 — у2 — Ax — 6у — 9 = 0. Построить старые и новые оси координат и кривую.
307. Найти геометрическое место середин фокальных радиус-векторов, проведенных из правого фокуса ко всем точкам гипер-
ж2 у2
болы---= 1.
9 16
308. Написать уравнение эллипса, проходящего через точку A(a; —а), если фокусы его находятся в точках F(a; а) и Fi ( — а; — а).
Упростить уравнение поворотом осей координат на 45°.
309. Поворотом осей координат на угол <р = arctg — упростить
уравнение линии Зж2 + 8жу — Зу2 = 20. Построить старые и новые оси координат и кривую.
310. Написать уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до прямой Зж + Ay = 0 и до оси Ox остается постоянной и равной 2,4.
311. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у),
отношение расстояний от которых до точки F -; 0 к рас-
\е + 1 J
P
стояниям до прямой ж =----- равно е.
е(е + 1)
312. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
1) R2 < X2 + у2 < AR2 и ж2 > F2/4;
2) ж2 - у2 > а2 и ж2 < 4а2;
3) ху > а2 и |ж + у\ < 4а;
4) 2ж < у2 + Ay и ж2 + у2 + 4ж + Ay < 0.
§ 15. Общее уравнение линии второго порядка
1°.Линией второго п о р я д к а называется линия, определяемая уравнением 2-й степени, которое в общем виде можно написать так:
Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx+ 2Ey+ F = 0. (1)
15. Общее уравнение линии второго порядка
41
Составим из коэффициентов уравнения (1) два определителя:
А В В С
А
ABD ВСЕ DEF
Определитель А называется дискриминантом уравнения (1), a S — дискриминантом старших его членов. В зависимости от значений S и А уравнение (1) определяет следующий геометрический образ:
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed