Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
60
Гл.2. Векторная алгебра
435. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах a = k — j и b = і + j + к.
436. Доказать, что (2а + b) X (a + 2b) = За X Ь.
437. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а=т + 2пиЬ = 2т + п, где тип — единичные векторы, образующие угол 30°.
§ 5. Смешанное произведение трех векторов
1°. Определение. Смешанным произведением векторов a, b и с называется выражение вида (а х Ь) • с.
Если векторы a, b и с заданы своими координатами, то
Ъх by bz
'у c2
у
2°. Свойства смешанного произведения. I. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произведение меняет знак:
(а x Ь) • с = —(а x с) • b = —(с х Ь) • а. (2)
П. Если два из трех данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно 0.
III. Знаки операций «точка» и «крест» можно поменять местами, (а x Ь) • с = а • (b x с); поэтому смешанное произведение принято записывать в виде abc, т. е. без знаков действий и без скобок.
3°. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с.
V = ±abc (+ при правой связке, — при левой связке).
Объем пирамиды, построенной на векторах а, Ь, с:
Упир = i^abc. 6
4°. Условие компланарности. Если a, b и с компланарны, то abc = 0, и обратно. При этом между a, b и с существует линейная зависимость вида с = ma + пЪ.
438. Построить параллелепипед на векторах а = Зі + 4j, b = = — 3j + к, с = 2j + 5k и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов (а, Ь, с)?
439. Построить пирамиду с вершинами О(0; 0; 0), А(Ъ; 2; 0), В(2; 5; 0) и C(I; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
440. Показать, что точки А(2; -1; -2), B(I; 2; 1), С(2; 3; 0) и D(5; 0; —6) лежат в одной плоскости.
441. Показать, что векторы а = — і + 3j + 2k, b = 2i — 3j — 4k, с = —3i+12j + 6k компланарны, и разложить вектор с по векторам а и Ь.
5. Смешанное произведение трех векторов
61
442. Показать, что:
1) (а + Ь) • [(а + с) X b] = -abc;
2) (а + 2Ь - с) • [(а - b) X (а - b - с)] = ЗаЬс.
443. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах оХ,
OU и ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.
444. Построить пирамиду с вершинами А(2; 0; 0), -B(O; 3; 0), C(O; 0; 6) и D(2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань ABC.
445. Построить векторы a = i+j+4k, b = і—2j и с = Зі—3j+4k,
показать, что они компланарны, и найти линейную зависимость между ними.
446. Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
447. Даны единичные векторы m, п и р. Угол (т, n) =
= [р, (т X n)] = а. Доказать, что тогда (m X n) X р = — sin 2а.
448. При любых векторах a, b и с векторы а — b, b — с и с — а компланарны. Доказать это аналитически и геометрически (рассмотрением параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с).
449. Вычислить объем параллелепипеда ОАВСО\АіВіС\, в котором даны три вершины нижнего основания О(0; 0; 0), А(2; —3; 0) и С(3; 2; 0) и вершина верхнего основания -Bi(3; 0; 4), лежащая на боковом ребре -В-Bi, противоположном ребру OOi.
Глава З
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнение плоскости
1°. Уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (X1; у1; Z1) и перпендикулярной к вектору N{A; В; С}.
Пусть М(х; у; z) — произвольная
точка плоскости (рис. 20). Тогда M1U L 1 N и по условию перпендикулярности векторов
А(х - X1) + В (у - + C(z - Z1) = 0.
(1)
2°. Общее уравнение плоскости:
Ax +By+ Cz +D = O. (2)
Вектор N{A; В; С} называется нормальным вектором к плоскости (2) или (1).
3°.Особые случаи уравнения Ax+ By+ Cz+ D = O: =0 — плоскость проходит через начало
Рис. 20
I. D = 0, Ax + By + Cz координат.
П. C = O, Ax + By + D = O — плоскость параллельна оси Oz.
III. C = D = O, Ax + By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
IV. B = C = O, Ax + D = O — плоскость параллельна плоскости yOz.
V. Уравнения координатных плоскостей: х = 0, у = 0, z = 0. 4°. Уравнение плоскости в отрезках на осях:
X
а
1.
(3) Зж +
450. Построить плоскости: 1) 5ж — Iy + 3z — 10 = 0; 2) + 2у - z = 0; 3) Зж + 2z = 6; 4) 2z - 7 = 0.
451. Построить плоскость 2ж + Зу + 6z — 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.
452. Даны точки Mi(O; —1; 3) и M2(I; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mi и перпендикулярной к
вектору N = M1Ml.
2. Основные задачи на плоскость
63
453. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M(a; а; 0) и перпендикулярной к вектору ОМ. Построить плоскость.
454. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А(а; —а/2; а) и -B(O; а/2; 0).
455. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точки Mi(O; 1; 3) и Мг(2; 4; 5) и построить ее.
456. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку Mi(O; —2; 3). Построить плоскость.
457. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку Mi (2; —4; 3). Построить плоскость.
