Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
162. Точка М(х; у) движется так, что сумма квадратов расстояний от нее до начала координат и до точки А( —а; 0) остается равной а2. Определить траекторию движения точки М.
163. Дана окружность ж2 + у2 = 4. Из точки ее А( — 2; 0) проведена хорда AB и продолжена на расстояние BM = AB. Определить геометрическое место точек М.
164. Отрезок AM = а перемещается по плоскости хОу, оставаясь параллельным Ох, так, что левый конец его А скользит по окружности ж2 + у2 = а2. Определить траекторию движения точки М.
§ 9. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и Fi (фокусов) есть постоянная величина 2а, большая FiF.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса
-+У- = 1 (1)
Эллипс, заданный уравнением (1), симметричен относительно осей координат (рис. 1). Параметры а и 6 называются полуосями эллипса.
У-
1 -^х^Міх; у) Tb \\ J \А
a J х
Рис. 1
Пусть а > Ь, тогда фокусы F ж Fi находятся на оси Ox на расстоянии
_ Q
Ь2 от центра. Отношение — = е < 1 называется эксцентри-
а,
с
9. Эллипс
25
ситетом эллипса. Расстояния от точки М(х; у) эллипса до его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами
г = а — ex, 7*i = a + ex. (2)
Если же а < Ъ, то фокусы находятся на оси Oy, с = \/Ь2 — а2, е = -,
о
г = Ъ ± еу.
165. Построить эллипс ж2 + 4у2 = 16, найти его фокусы и эксцентриситет.
166. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:
1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось 6=3;
2) большая полуось а = 6, а эксцентриситет е = 0, 5.
167. Найти малую полуось Ь и эксцентриситет е эллипса, имеющего большую полуось а = 5 и параметр с, равный: 1) 4,8; 2) 4;
3) 3; 4) 1,4; 5) 0. Построить каждый из эллипсов.
168. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 млн км, а наибольшее 152,5 млн км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
169. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки M (2; \/3) и -B(O; 2). Написать его уравнение и найти расстояния от точки M до фокусов.
170. Эллипс, симметричный относительно осей координат,
фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку
3
М(—4; \/2Ї) и имеет эксцентриситет е = —. Написать уравнение
эллипса и найти фокальные радиус-векторы точки М.
171. Найти длину хорды эллипса ж2 + 2у2 = 18, делящей угол между осями пополам.
172. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой полуосей.
173. В эллипс ж2 + 4у2 = 4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определить координаты двух других вершин треугольника.
Указание. Написать уравнение одной из сторон, имеющей наклон k = tg30°, и найти точки ее пересечения с эллипсом.
174. На эллипсе 9ж2 + 25у2 = 225 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса.
175. Ординаты всех точек окружности ж2 + у2 = 36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
176. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F( — l; 0), чем к прямой ж = -4.
26
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
177. Отрезок AB постоянной длины a + Ь движется так, что его конец А скользит по оси Ож, а конец В — по оси Oy. Определить траекторию движения точки M отрезка, делящей его на части BM = а и MA = Ь (эллиптический циркуль Леонардо да Винчи).
178. Даны окружности ж2 + у2 = Ъ2 и ж2 + у2 = а2 (Ъ < а). Произвольный луч OBA пересекает их соответственно в точках В и А, из которых проведены прямые, параллельные осям координат, до пересечения их в точке М. Определить геометрическое место точек М.
179. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.
180. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2\/3; л/б) и А(6; 0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки M до фокусов.
ж2 у2
181. Найти длину хорды эллипса — + —- = 1, направленной
а2 о2
по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.
182. Найти общие точки эллипса ж2 + Ay2 = 4 и окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.
183. На прямой ж = —5 найти точку, одинаково удаленную от «левого» фокуса и от «верхней» вершины эллипса ж2 + Ъу2 = 20.
184. На эллипсе ж2 + Ъу2 = 20 найти точку, радиус-векторы которой перпендикулярны.
Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в начале координат.
185. Абсциссы точек окружности ж2 + у2 = 4 увеличены вдвое. Определить полученную кривую.
186. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается втрое ближе к точке A(I; 0), чем к прямой ж = 9.
§ 10. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и Fi (фокусов) есть постоянная величина 2а (0 < 2а < FiF).
