Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
к гиперболе — - — = 1 —----— = 1;
\а2 о2 J а2 Ь2
к параболе (у2 = 2рх) уу0 = р(х + х0), где (х0; у0) — точка касания.
12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым 2-го порядка 33
тт х<2 У2
231. Построить эллипс--1--= 1, его директрисы и найти
25 9
расстояния от точки эллипса с абсциссой ж = — 3 до правого фокуса и правой директрисы.
тт х<2 У2
232. Построить гиперболу---= 1, ее директрисы и найти
16 9
расстояния от точки гиперболы с абсциссой х = 5 до левого фокуса и левой директрисы.
233. Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами
, 4
которого служат прямые х = + —= и большая полуось которого
л/3
равна 2.
234. Написать уравнение гиперболы, асимптоты которой у = = + х, а директрисы х
235. Построить эллипс ж2 + 4у2 = 16, диаметр у = — и сопряженный ему диаметр и найти длины а\ и 6i построенных полудиаметров.
236. Построить гиперболу ж2 — 4у2 = 4, диаметр у = —ж и сопряженный ему диаметр и найти угол между диаметрами.
ж2 у2
237. Найти длину того диаметра эллипса — + — = 1, который
равен своему сопряженному диаметру.
а
Ь2
X у _
238. Асимптота гиперболы — — —- = 1 составляет с осью Ox
а2 о2
угол 60°. Написать уравнение диаметра, сопряженного с диаметром у = 2ж. Выбрав произвольно отрезок а, построить кривую, диаметры и хорды, параллельные данному диаметру.
239. Определить геометрическое место середин хорд параболы у2 = 4ж, составляющих с Ox угол 45°.
ж2 у2
240. Дан эллипс — + — = 1. Через точку ( — 2; 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.
241. Дана парабола у2 = —4ж. Через точку ( — 2; —1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.
242. На примере задачи 235 проверить теорему Аполлония: а2 + Ь\ = а2 + Ъ2 и a\b\ sin ер = ab, где a\ и Ъ\ — длины сопряженных полудиаметров, а и Ь — полуоси эллипса, а Lp — угол между сопряженными диаметрами.
243. Написать уравнения касательных к кривым:
1) ж2 +Ay2 = 16; 2) Зж2 — у2 = 3; 3) у2 = 2ж в точке с абсциссой X0 = 2.
34
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
244. Показать, что если прямая Ax + By + C = O есть каса-X2 у2
тельная к эллипсу — + — = 1, то A2a2 + В2Ь2 = С2.
a
Ь2
Указание. Из пропорциональности коэффициентов уравнений хх° і УУ° л ліні/- п
—-—I--— = 1 и Ax + By + G = (J определить X0 и уо и подставить
х У
их в уравнение —- + — = 1.
cr bz
245. Написать уравнения касательных к эллипсу ж2+4у2 = 20, параллельных биссектрисе первого координатного угла.
246. Написать уравнения касательных к эллипсу ж2 + 2у2 = 8, проведенных из точки (0; 6).
ж2 у2
247. Написать уравнение касательной к эллипсу — + —- = 1,
a
Ъ2
отсекающей на осях координат равные положительные отрезки. 248. Показать, что если прямая Ах + Ву + С = 0 есть касатель-
Qb 1JJ q Су Cy Cy Cy ,
ная к гиперболе — — — = 1, то Aa — Bb = С (см. указание -1 о2
a
к задаче 244).
249. Написать уравнения касательных к гиперболе 4ж2 — 9у2 = = 36, перпендикулярных к прямой ж + 2у = 0.
250. Доказать, что нормаль к эллипсу есть биссектриса угла между радиус-векторами соответствующей точки эллипса.
251. Доказать, что касательная к гиперболе есть биссектриса угла между радиус-векторами точки касания.
252. Доказать, что лучи, выходящие из фокуса параболы, отражаются от параболы по прямым, параллельным ее оси.
Указание. Нужно написать уравнение нормали MN, найти точку N пересечения ее с осью параболы и доказать, что FM = FN, где F — фокус параболы.
253. Найти точки пересечения асимптот гиперболы---= 1
F F 16 9
с ее директрисами.
254. Построить эллипс ж2 + 4у2 = 16, его диаметр у = ж и сопряженный ему диаметр и найти угол между этими диаметрами.
255. Определить геометрическое место середин хорд гиперболы ж2 — 4у2 = 16, составляющих угол 45° с осью Ох.
256. Дана гипербола 4ж2 — у2 = 4. Через точку (2; 2) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.
257. На эллипсе ж2 + 2у2 = 6 взята точка M с ординатой 1 и отрицательной абсциссой. Найти угол касательной к эллипсу в точке M с прямой ОМ.
13. Преобразование декартовых координат
35
258. Показать, что если прямая Ax + By + C = O есть касательная к параболе у2 = 2рх, то В2р = 2AC (см. указание к задаче 244).
259. Написать уравнение касательной к параболе у2 = 8х, параллельной прямой X + у = 0.
§ 13. Преобразование декартовых координат. Параболы = 2 + + и = 2 + + . Гипербола =
1°. Координаты (х; у) в данной системе преобразуются к координатам (X; Y) в новой системе по формулам:
1) при параллельном сдвиге осей и перенесении начала координат в точку Oi(а; ?)
х = Х+ а, y = Y + ?; (1)
2) при повороте осей на угол р
х = Х cos Lp-Y sin Lp, у = X sin Lp + Y cos p. (2)
2°. Уравнение у = a(x — a)2 + ? переносом начала координат в точку Oi(а; ?) приводится к виду Y = аХ2 и, следовательно, определяет параболу с вершиной Oi(а; ?) и осью симметрии, параллельной Oy (рис. 8). Уравнение у = ах2 + Ьх + с выделением в правой части полного квадрата приводится к предыдущему и поэтому тоже определяет параболу. При а > 0 парабола от вершины направлена «вверх», при а < 0 — «вниз».
