Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1) полярным углом <р = ZMOP;
2) длиной г радиус-вектора ОЙ: г = \OU\.
При изучении уравнений, связывающих г ш Lp, бывает полезно рассматривать полярные координаты <р и г принимающими какие угодно положительные и отрицательные значения. При этом отрицательные углы <р отсчитываются по часовой стрелке, а отрицательные г откладываются не по лучу, а по его продолжению за полюс.
16. Полярные координаты
45
Если принять полюс за начало декартовых прямоугольных координат, а полярную ось OP — за ось Ох, то декартовы координаты (х; у) точки M и ее полярные координаты (р; г) будут связаны зависимостью
М(ср; г)
X = г cos Lp, у = г sin (р;
У
tgp
Рис. 12
Если принять фокус эллипса, гиперболы и параболы за полюс, а фокальную ось симметрии за полярную ось, направленную в сторону, противоположную ближайшей вершине, то уравнение всех трех кривых в полярных координатах будет одинаковым:
г=-Л---, (3)
1-е cos ip
параметр. Для эллипса и гиперболы
где е -
P
P = —.
a
эксцентриситет, а р
330. В полярной системе координат (ср>; г) построить точки A(O; 3), Б(тг/4; 2), С(тг/2; 3), L>(tt; 2), ?(371-/2; 3).
331. Построить точки А(тг/2; -2), В(-к/2; 3), С(-тг/4; -4), L>(2tt/3; -3).
332. Построить линию г = 2 + 2 cos (р.
Указание. Составить таблицу значений г для <р = 0; ±7г/3; ±7г/2; ±2тг/3; тг.
333. Построить линии (см. с. 334 и 335, рис. 80, 81 и 86):
1) 2)
3) г2 = a1 cos 2<у?
4) г = ajLp
5) г = а(1 + 2 cos Lp)
Г = (1Lp
г = а(1 — cos Lp)
,2 ,
(см.
(архимедова спираль);
(кардиоида);
(лемниската);
(гиперболическая спираль); (улитка Паскаля).
334. Построить линии: 1) г = а; 2) Lp = —; 3) г
4 ' sm Lp
335. Написать в полярных координатах уравнения: 1) прямой, отсекающей от полярной оси отрезок а и перпендикулярной к ней; 2) прямой, проходящей через точку А(а; а) и параллельной полярной оси.
336. Написать в полярных координатах уравнение прямой, проходящей через точку А(а; а) и составляющей с полярной осью угол ?.
337. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке C(O; а) и радиусом, равным а.
46
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
338. Построить кривые:
1) г = 3 — 2 sin 2(/з; 2) г = 2 + cos 3(/з; 3) г = 1 — sin 3(/з.
Указание. Определить углы, при которых имеем rmax и rm;n.
339. Построить линии (см. с. 334, рис. 82 и 83):
1) г = a sin 3(/з (трехлепестковая роза);
2) г = a sin 2(/з (четырехлепестковая роза).
340. Преобразовать к полярным координатам уравнения линий:
1) X2 - у2 = а2; 2) х2 + у2 = а2;
3) ж cosa + у sin a — р = 0; 4) у = ж;
5) ж2 + у2 = аж;
6) (ж2 + у2)2 = а2(ж2 - у2).
341. Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить линии:
1) г cos (/з = a; 2) г = 2a sin (/з;
3) г2 sin 2^3 = 2a2;
4) г sin [р> + = av7^;
5) r = a(l + cos (/з).
342. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:
9 . 9
I) г = -; 2) г
5 — 4 cos (/з' 4 — 5 cos (/з'
3)г=—.
1 — cos (/3
343. Конхоида. Через точку А(тг/2; а) проведена прямая, параллельная полярной оси. Произвольный луч OB пересекает эту прямую в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки BM = BMi = Ь. Определить геометрическое место точек M и М\ в полярных координатах и построить кривую.
344. Строфоида. Прямая ж = а пересекает ось Ox в точке А и произвольный луч OB в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки BMi и BM2, равные AB. Написать уравнение геометрического места точек Mi и M2 в полярных и декартовых координатах (рис. 84, с. 335).
16. Полярные координаты
47
345. Овал Кассини. Точка М(ср; г) движется так, что произведение расстояний от нее до точек F(O; а) и Fi (тг; а) остается равным Ъ2. Написать уравнение траектории движения точки M в полярных координатах.
346. Кардиоида. На произвольном луче OA от точки А пересечения его с окружностью г = a cost/? откладывается по обе стороны отрезок AM = AMi = а. Составить уравнение геометрического места точек M и М\ в полярных и декартовых координатах.
347. Кардиоида (эпициклоида). Круг диаметра а катится без скольжения по кругу такого же диаметра снаружи его. Написать уравнение кривой, описанной точкой M катящейся окружности, если за полюс и начальное положение точки M принять точку касания кругов, а полярную ось провести через центры кругов (в начальном положении).
348. Построить кривые: 1) г = 3 + 2cos2</j; 2) г = 3 — sin Зср; 3) г = a cos 1<р (см. указание к задаче 338).
349. Построить:
1) г = 4(1 + cos ср); 2) г = 2 — sin ср.
350. Написать в полярных координатах уравнение прямой, проходящей через данные точки А(а; а) и B(?; Ъ).
Указание. Рассмотреть зависимость между площадями треугольников AOM, BOM и АОВ, где М(<р; г) — произвольная точка прямой.
351. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:
352. Лемниската Бернулли. Точка М(ср; г) движется так, что произведение ее расстояний от точек F(O; с) и Fi (тг; с) остается равным с2. Написать уравнение траектории движения в полярных и декартовых координатах.
Указание. По теореме косинусов FM2 = г2 + с2 — 2rc cos ip и FiM2 = г2 + с2 + 2rccosp, причем по условию FM2 ¦ FiM2 = с4.
