Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы
10. Гипербола
27
Гипербола, заданная уравнением (1), симметрична относительно осей координат (рис.2). Она пересекает ось Ox в точках A(a; Q) ш А\(—а; 0) — вершинах гиперболы и не пересекает ось Oy. Параметр а называется вещественной полуосью, Ъ — мнимой полуосью. Параметр с = л/ а2 + Ъ2
У
^^m(x; у)
\ IN. /а і /1 '/ г
У
Рис. 2
есть расстояние от фокуса до центра. Отношение — = е > 1 называется
а
Ъ
эксцентриситетом гиперболы. Прямые у = ± — х называются асимп-
а
тотами гиперболы. Расстояния от точки М(х; у) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами
г = \ех — а\, 7*i = \ех + а\. (2)
Гипербола, у которой а = Ь, называется равносторонней, ее уравне-
X2 2
ниє X2 — у2 = а2, а уравнения асимптот у = ±ж. Гиперболы —- — — = 1
а2 о2
У X2
и —--- = 1 называются сопряженными.
Ъ2 а2
187. Построить гиперболу х2 —Ay2 = 16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.
188. На гиперболе х2 — Ay2 = 16 взята точка M с ординатой, равной 1. Найти расстояние от нее до фокусов.
189. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами 2с = 10, а между вершинами 2а =
= 8; 2) вещественная полуось а = 2\/Ъ, а эксцентриситет е =
= ,/ІД
190. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку М(6; —2у/2) и имеет мнимую полуось 6 = 2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки M до фокусов.
28
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
191. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фо-
кусах, а фокусы
в вершинах эллипса--Ь
F 25
У_ 9
1.
192. Написать уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет е = у/2, проходящей через точку (2а; ay/З) и симметричной относительно осей координат.
193. Построить гиперболу у2 = а2 + ж2, найти координаты ее фокусов и угол между асимптотами.
194. Написать уравнения касательных к гиперболе ж2 — 4у2 = = 16, проведенных из точки A(O; —2).
о о
_ г ъ2
асимптот и угол между асимптотами.
195. Найти расстояние от фокуса гиперболы
1 до ее
У_ Ь2
196. Найти сторону квадрата, вписанного в гиперболу —
а2
2
1, и исследовать, в какие гиперболы можно вписать квадрат.
197. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол: 1) 60°; 2) а.
198. Определить область расположения кривой у = — у/9 + ж2. Построить кривую.
199. Определить траекторию точки М(х; у), которая при своем движении остается вдвое ближе к прямой ж = 1, чем к точке F(A; 0).
200. Даны точки А(-1; 0) и В(2; 0). Точка M движется так, что в AAMB угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию движения.
201. Дана точка А(а; 0). По оси Oy движется точка В. На прямой BE, параллельной Ох, откладываются отрезки BM и BMi, равные AB. Определить геометрическое место точек M и М\.
202. Даны прямые ж = ±6 и ж = ±а (Ь < а). Произвольный луч OA (рис. 3) пересекает прямую ж = Ь (или ж = —Ъ) в точке В и прямую ж = а (или ж = —а) в точке А. Радиусом OA описана дуга, пересекающая Ox в точке С. Из точек В я С проведены прямые, параллельные соответственно Ox и Oy, до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.
Рис. 3
203. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.
11. Парабола
29
204. Найти точки пересечения асимптот гиперболы ж2 — Зу2 = = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
205. Гипербола проходит через точку М(6; 3-\/5/2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось a = 4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.
206. На гиперболе 9ж2 — 16у2 = 144 найти точку, расстояние от которой до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого.
207. На гиперболе ж2 — у2 = 4 найти точку, фокальные радиус-векторы которой перпендикулярны (см. указание к задаче 184).
208. Точка M делит расстояние между фокусами гиперболы 9ж2 - 16у2 = 144 в отношении FiM : MF = 2:3, где Fi — левый фокус гиперболы. Через точку M проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти точки пересечения этой прямой с асимптотами гиперболы.
209. Определить траекторию точки М, которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F( —8; 0), чем от прямой ж = -2.
210. Даны точки А( — а; 0) и В(2а; 0). Точка M движется так, что угол MAB остается втрое меньше внешнего угла AMC треугольника АМВ. Определить траекторию движения точки М.
§ 11. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) у2 = 2рх — парабола симметрична относительно оси Ox (рис. 4);
2) X2 = 2ру — парабола симметрична относительно оси Oy (рис. 5).
В обоих случаях вершина параболы, т. е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.
зо
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
Парабола
2рх
