Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
3) г
1
2 — 2 cos р>
48
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
9 і (полукубическая парабола);
353. Улитка Паскаля. На произвольном луче OA от точки А пересечения его с окружностью г = a cos <~р по обе стороны отложены отрезки AM = AMi = Ь. Составить уравнение геометрического места точек M в полярных координатах.
354. Четырехлепестковая роза. Концы отрезка AB = = 2а скользят по осям декартовых координат. Из начала координат опущен на AB перпендикуляр ОМ. Написать уравнение геометрического места точек М(х; у) при всевозможных положениях отрезка AB.
§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков
355. Построить кривые (см. с. 332, рис. 66-69):
1) у = ж3/3 (кубическая парабола);
2) у2 = Xs
3) У3
4) у2 = X(ж — 4)2 (петлевая парабола).
356. Построить кривые:
1) ж2/3 + у2/3 = а2/3 (астроида равносторонняя);
(X \ 2/3 /у\2/3 —j + J = 1, Ъ ф а (астроида неравносторонняя).
Указание. Найти точки пересечения кривых с осями Ox и Oy и
b
первой кривой с прямыми у = ±ж, а второй — с прямыми у = ± — X (рис. 78 на с. 334).
357. Построить на отрезке [—1; 1] кривые: 1) у = x2n+1; 2) у = = х2п; 3) x2n + y2n = 1 при n = 1, 2, 4. К каким ломаным приближаются эти кривые, когда га —> со?
Указание. Найти точки пересечения первой кривой с прямой у =
X 1
= —, второй кривой с прямой у = — и третьей кривой с прямой у = X.
2п 2п
За единицу масштаба принять 10 клеток клетчатой бумаги.
358. Астроида. Концы отрезка AB = а скользят по осям декартовых координат. Прямые AC и ВС, параллельные осям координат, пересекаются в точке С. Из С опущен на AB перпендикуляр СМ. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у) при всевозможных положениях отрезка AB.
18. Трансцендентные кривые
49
359. Построить кривые:
X
.3
a — X
(циссоида, рис. 85, с. 335);
2) У
X2 + Aa
2
(локон, рис. 76, с. 333).
360. Каждая точка Р(хо; уо) параболы у2 = 2рх смещена параллельно оси Ox на расстояние PM = ±ОР. Найти геометрическое место точек М.
361. Стержень OA = а вращается вокруг начала координат О. В точке А к нему прикреплен шарниром стержень AB = 2а, конец которого скользит по Ох. Написать уравнение линии, которую будет описывать при этом середина M отрезка AB.
362. Циссоида. Произвольный луч OA (рис. 85, с. 335) пересекает окружность X2 + у2 = ах в точке А и прямую х = а в точке В. На луче откладывается отрезок OM = AB. Составить уравнение геометрического места точек М.
363. Произвольный луч OB (рис. 85) пересекает прямую х = а в точке В. С — проекция точки В на ось Oy и M — проекция точки С на прямую OB. Показать, что геометрическое место точек M есть циссоида.
364. Если из вершины параболы у2 = —Аах опускать перпендикуляры на касательные к этой кривой, то геометрическим местом оснований перпендикуляров будет циссоида. Доказать.
365. Локон. Произвольный луч OA пересекает окружность X2 + у2 = lay и прямую у = 2а в точках А и В, из которых проведены прямые, параллельные соответственно оси Ox и оси Oy до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.
366. Декартов лист ж3+ у3 — Зажу = 0. Показать, что это уравнение поворотом осей координат на 45° приводится к виду
новой системе координат область расположения кривой и ее симметрию, точки пересечения с прямой у = ж (т. е. с новой осью OX) и асимптоту. Показать, что уравнение асимптоты в новой системе координат будет X = —Ь, а в старой ж + у + а = 0 (см. рис. 79, с. 334).
где Ь
а
Построить кривую, определив в
§ 18. Трансцендентные кривые
367. Циклоида. Круг радиуса а катится по прямой OX без скольжения. Составить параметрические уравнения кривой, описанной точкой M окружности, приняв за параметр t угол поворота
50
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
катящегося круга и положив, что при t = 0 точка M находится в начале координат.
368. Развертка круга. Нить, намотанная на окружность ж2 + у2 = а2, разматывается, оставаясь натянутой. Составить параметрические уравнения кривой, описанной концом нити, если вначале конец нити находится в точке (а; 0). За параметр t принять длину смотанной дуги (в радиусах).
368. Квадратриса. Произвольный луч ОМ, составляющий с осью Oy угол t (в радианах), пересекает прямую х = at в точке М. Написать уравнение геометрического места точек М.
370. Эпициклоида. Круг радиуса г катится без скольжения по кругу радиуса R снаружи его. Составить параметрические уравнения кривой, описанной точкой M катящейся окружности. (При г = R эпициклоида обращается в кардиоиду. См. задачу 347.)
371. Гипоциклоида. Круг радиуса г катится без скольжения по кругу радиуса R > г внутри него. Составить параметрические уравнения кривой, описанной точкой M катящейся окружности. (При г = R/4 гипоциклоида обращается в астроиду ж2/3 +
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр
1°. Определения. Вектором называется направленный отрезок
AB (рис. 13), в котором точка А рассматривается как начало, а точка В — как конец. Вектор обозначается или указанием его начала и конца
со стрелкой наверху, или одной какой-нибудь буквой, выделенной полужирным шрифтом, например а. Модуль (длина) вектора обозначается
