Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 11

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 100 >> Следующая

3°. Уравнение ху = к при повороте осей координат на угол р = 45° приводится к виду X2 — Y2 = 2к и, следовательно, определяет
Рис. 8 Рис. 9
равностороннюю гиперболу, асимптотами которой служат оси координат (рис. 9). Уравнение (х — а)(у — ?) = к переносом начала координат в точку Oi(а; ?) приводится к виду XY = к и поэтому тоже определяет равностороннюю гиперболу.
36
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
260. 1) Точка А(3; 1) при параллельном сдвиге осей координат получила новые координаты (2; —1). Построить данные и смещенные оси координат и точку А.
2) Найти острый угол поворота осей координат, при котором точка А{2; 4) получит новую абсциссу 4. Построить обе системы координат и точку А.
261. Перенесением начала координат упростить уравнения:
ч (ж-2)2 , ч9 ч (ж + 3)2 (у-I)2
3) (у + 2)2 = 4(ж-3); 4) 2у = -(ж+ 2)2; 5) ж2 + 4у2 - 6ж + 8у = 3; 6) у2 - 8у = 4ж;
7) ж2 - 4у2 + 8ж - 24у = 24; 8) ж2 + Qx + 5 = 2у.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
262. Поворотом осей координат на 45° упростить уравнения:
1) 5ж2 - бжу + 5у2 = 32; 2) Зж2 - Южу + Зу2 + 32 = 0.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
263. Построить по точкам кривую жу = —4 и поворотом осей на угол (р = —45° преобразовать уравнение.
264. Переносом начала координат привести к виду жу = к уравнения кривых:
1) жу — 2ж = 6; 2) жу — 2ж — у + 8 = 0; 3) жу — ж + 2у = 6; 4) жу + 2ж = Зу.
Указание. Уравнение ху + Ax + By + C = O можно написать в виде (х + В) (у + А) = AB - С.
265. Построить параболы: 1)у=(ж-2)2; 2) у= (ж-2)2 + 3; 3) у= (ж+ 2)2; 4) у= (ж+ 2)2-3.
266. Построить параболы:
1)у = ж2-4ж + 5; 2)у = ж2 + 2ж + 3; 3) у = -ж2 + 2ж - 2,
выделив в правых частях уравнений полные квадраты.
267. Построить параболы:
1) у = 4ж - ж2 и 2) 2у = 3 + 2ж - ж2, найдя их точки пересечения с осью Ох.
268. Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4 м на расстоянии 0,5 м от вертикали, проходящей через точку О выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ox на расстоянии 0,75м от точки О.
13. Преобразование декартовых координат
37
269. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy и отсекающей на ней отрезок Ь, а на оси Ox — отрезки а и —а.
Указание. В уравнении параболы вида у = Ax'1 + Bx + С подставить координаты данных на параболе точек (—а; 0), (а; 0) и (0; 6) и затем найти А, В и С.
270. Парабола у = ax2 + Ъх + с проходит через точки О(0; 0), А( — 1; —3) и _В( —2; —4). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок оси Ож, отсеченный параболой.
271. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы исчез член, содержащий ху, в уравнениях:
1) ж2 - ху + у2 - 3 = 0; 2) 5ж2 - 4жу + 2у2 - 24 = 0?
Построить старые и новые оси координат и кривые.
272. Определить траекторию движения пули, брошенной под углом <р к горизонту с начальной скоростью V0. Определить также дальность полета пули и наивысшую точку траектории (сопротивлением воздуха пренебречь).
273. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у), отношение расстояний от которых до точки F(A; 0) к расстояниям до прямой ж = —2 равно 2.
274. Показать, что переносом начала координат в левую вер-
ж2 у2
шину эллипса — + —- = 1 или в правую вершину гиперболы а2 Ъг
X2 у2 9
— — — = 1 оба уравнения приводятся к одинаковому виду: у = а2 Ъг
Ь2
= 2рх + дж2, где р= —, a g = е2 — 1. а
275. По результатам задачи 274 определить эксцентриситет и тип кривой: 1) у2 = ж —-ж2; 2) у2 = ж + -ж2; 3) у2 = ж. Построить
кривые, найдя для первых двух точки пересечения их с осью Ож и параметры а и Ь.
276. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий:
1) 2ж2 + Ъу2 - 12ж + 10у + 13 = 0;
2) ж2 - у2 + 6ж + 4у - 4 = 0;
3) у2 + 4у = 2ж;
4) ж2 - 10ж = 4у - 13.
Построить старые и новые оси и кривые.
38
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
277. Поворотом осей координат на 45° упростить уравнение Зж2 — 2жу + 3у2 — 8 = 0. Определить координаты фокусов в старой системе координат.
278. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси Ox параболой у = 3 — 2ж — ж2. Построить обе кривые.
279. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой ж + у = 6, отсеченный гиперболой ху = 8. Построить все три линии.
280. Точка А — вершина параболы у = ж2 + 6ж + 5, В — точка пересечения параболы с осью Oy. Написать уравнение перпендикуляра, восставленного из середины отрезка AB.
281. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox и отсекающей на ней отрезок —4, а на оси Oy — отрезки 4 и -4.
Указание. Уравнение параболы должно иметь вид х = ay2 + с (почему?).
282. Построить по точкам пересечения с осями координат параболы:
1) Зу = 9 - ж2; 2) у2 = 9 - Зж; 3)у2 = 4 + ж; 4)ж2 = 4 + 2у.
283. Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у), отношение расстояний от которых до точки F(A; 0) к расстояниям до прямой ж = 10 равно 1/2.
§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed