Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
413. Дан вектор a = 2т — п, где тип — единичные векторы с углом 120° между ними. Найти cos (а, т) и cos (a^n).
414. Определить угол между биссектрисами двух плоских углов правильного тетраэдра, проведенными из одной его вершины.
Указание. Если ш, пир — единичные векторы ребер, то m + п и m + р — векторы, направленные по биссектрисам.
415. На осях Ox, Oy и Oz отложить равные отрезки a = 4 и на них построить куб. Пусть M — центр верхней грани, a N —
центр правой боковой грани куба. Определить векторы OM и О и угол между ними.
416. Даны векторы OA = а и OB = Ъ, причем a = 2, Ь = 4, а (a, b) = 60°. Определить угол между медианой OM треугольника
AOB и стороной OA.
417. Из вершины прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол ср между ними.
418. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А(—3; —2; 0), В(3; —3; 1) и С(5; 0; 2). Найти его четвертую вер-
шину D и угол между векторами AC и BD.
419. Даны точки А(3; 3; -2), В(0; -3; 4), С(0; -3; 0) и
-D(O; 2; —4). Построить векторы А~Й = а и СІ) = b и найти праЬ.
420. В равнобедренной трапеции OACB (см. рис. 16) M и N — середины сторон ВС = 2 и AC = 2. Острый угол трапеции
60°. Определить угол между векторами OM и ON.
421. Найти угол между векторами a = 2m + 4п и b = т — п, где тип — единичные векторы, образующие угол 120°.
422. Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, построенного на векторах а и b (а 1 Ь), определяется формулой
cos (f = ±
58
Гл.2. Векторная алгебра
423. Проекции перемещения s движущейся точки на оси координат Sx = 2 м, sy = 1м, sz = —2 м. Проекции действующей силы F на оси координат равны Fx = 5 Н, Fy = 4 H и Fz = З Н. Вычислить работу А силы F (A = F • s) и угол между силой F и перемещением s.
424. К вершине правильного тетраэдра с ребром а приложены три силы, изображаемые его вектор-ребрами. Определить величину равнодействующей.
Указание. Искомая величина равна a\J(m + n + р)2, где m, п и р — единичные векторы данных сил.
425. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.
§ 4. Векторное произведение двух векторов
1°. Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется такой третий вектор с (рис. 19), который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь;
2) перпендикулярен к плоскости параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от а к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Такое
расположение векторов a, b и с называется ic=axb правой связкой.
Векторное произведение обозначается а x Ь. Итак,
^^^^^^^^^ а x b = с,
если:
1) с = |а x b| = absimp,
2) с Ia и с Ib1
3) а, Ь, с составляют правую связку. 2°. Свойства векторного произведения:
I. а x b = —b x а.
П. ах (b + c)=axb + axc — распределительный закон. III. Если а||Ь, то а x b = 0; в частности, а х а = 0. 3°. Векторные произведения ортов:
ixj = k, jxk = i, kxi=j. (1)
Вообще произведение любых двух смежных векторов в последовательности
ijkjj
дает следующий вектор со знаком + , а в обратной последовательности — со знаком —.
4. Векторное произведение двух векторов
59
4°. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей а{ах, ау, az} и Ъ{ЬХ, Ьу, bz}:
а
і J k
Clx CIy Clx
ьх Ьу ьг
(2)
5°. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь:
Sb=|a x Ь|, (3)
а площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь:
5д = ^|ахЬ|. (4)
426. Определить и построить вектор с = а x Ь, если: 1) а = Зі, b = 2k; 2) а = і + j, b = і - j; 3) a = 2і + 3j, b = 3j + 2k. Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
427. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7; 3; 4), B(I; 0; 6) и С(4; 5; -2).
428. Построить параллелограмм на векторах a = 2j + knb = = і + 2k и вычислить его площадь и высоту.
429. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) і x (j 4-k) - j x (і 4-k) +k x (і +j 4-k);
2) (a + b + с) x с + (a + b + с) x b + (b - с) x a;
3) (2a + b) x (c - a) + (b + с) x (a + b);
4) 2i-(jxk) + 3j-(ixk)+4k-(ixj).
430. Доказать, что (a — b) x (a + b) = 2a x b, и выяснить геометрическое значение этого тождества.
431. Векторы а и b составляют угол 45°. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а — 2Ь и За + 2Ь, если |а| = |b| = 5.
432. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2т — пи 4т — 5п, где тип — единичные векторы, образующие угол 45°.
Указание. Имеем a + b = 2m — п и а — b = 4т — 5п, где а и b — векторы-стороны параллелограмма. Перемножив, найдем вектор 2b х а, модуль которого и равен удвоенной искомой площади.
433. Построить векторы a = 3k —2j, b = Зі — 2j и с = axb. Вычислить модуль вектора с и площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь.
434. Построить треугольник с вершинами A(I; —2; 8), B(Q; 0; 4) и С(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.
