Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
или |а|, или AB, или а. Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными. Два вектора а и b (рис. 13) называются равными, если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
2°. Умножение вектора на скаляр. Произведением вектора а на число (скаляр) т называется новый вектор, имеющий длину а\т\ и направленный одинаково с а (при т > 0) или противоположно а (при т < 0).
3°. Сложение векторов. Суммой векторов a+b + с называется вектор R = 0~tj (рис. 14), замыкающий ломаную OABC, построенную
Рис. 13
из данных векторов. В частности, в параллелограмме, построенном на
данных векторах OA = а и 0& = Ъ, одна вектор-диагональ 0(5 есть
сумма а + Ь, а другая вХ есть разность а — b данных векторов.
4°. Проекция вектора на ось. Пусть вектор а составляет угол Lp с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой
пр^а = |а| cos <р = a cos (a, Ox).
52
Гл.2. Векторная алгебра
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов на ту же ось:
npja + b) = црха + прхЪ.
372. По сторонам OA и OB прямоугольника OACB отложены единичные векторы inj (рис. 15). Выразить через inj векторы
0~Х, А~д, Ш, вб, OCylBA, если OA = 3 и OB = А.
373. Пусть на рис. 15 M — середина ВС и N — середина АС. Определить векторы
0~й, (ТІЇ и при OA = 3 и OB = 4.
374. На плоскости даны точки A(O; — 2), B(A; 2) и C(A; —2). В начале координат приложены силы О А, 0~Й и ОС. Построить их
равнодействующую ОМ, найти ее проекции на оси координат и величину. Выразить си-Рис. 15 лы оХ, OB, ОС и OM через единичные векторы inj координатных осей.
375. Даны три компланарных единичных вектора m, п и р, причем (т, n) = 30° и (npp) = 60°. Построить вектор u = m + + 2п — Зр н вычислить его модуль.
Указание. В ломаной, построенной из векторов т, 2п и —Зр, продолжить первое звено до пересечения с третьим.
376. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества:
1) а +
а
a + b
2) а
a + b
2 2 ' 2 2
377. На трех некомпланарных векторах OA = a, OB = b и
ОС = с построен параллелепипед. Указать те его вектор-диагонали, которые соответственно равны a + b — с, а — b + с, а b — а — с.
378. С помощью чертежа задачи 377 проверить переместитель ное свойство векторной суммы
a + b — с = а— c + b = b + a— c = b
с и
с + а.
379. Даны векторы оХ = а и 0& = Ь. Вектор ОС = с — медиана АО AB. Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор с по векторам а и Ь; 2) вектор а по векторам b и с.
380. В прямоугольнике OACB (рис. 15) M и N — середины сторон ВС = 3 и AC = А. Разложить геометрически и аналитически вектор ОС = с по векторам OM = а и ON = Ь.
Указание. В условие с = ma + пЪ подставить выражения a, b и с через ihjh сравнить коэффициенты слева и справа при inj.
2. Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве 53
381. Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной OA = 3. Обозначив единичные векторы направлений ОA1 А~Й, ВС через m, п и р, установить зависимость между ними (например, рассмотрением трапеции OABC). Выразить затем через m
и п векторы 0~Й, вб, Ёб, 0~Ь и D А.
м —і—
382. В равнобедренной трапеции OACB (рис. 16) угол BOA = = 60°, OB = ВС = CA = 2, M и N — середины сторон ВС
и АС. Выразить векторы AC1 OM1 ON и MN через тип — единичные векторы направлений О А и 0~Й.
383. Даны векторы а и Ь, угол между которыми 120°. Построить вектор с = 2а — 1,5Ь и определить его модуль, если a = 3 и Ь = 4. Рис. 16
384. На плоскости даны точки
А(3; 3), В( — 3; 3) и С( — 3; 0). В начале координат приложены
силы ОA1 0~Й и ОС. Построить равнодействующую OM1 найти ее проекции на оси координат и величину. Выразить силы OA1
0~Й, ОС и OM через единичные векторы inj координатных осей.
385. 1) В трапеции OACB имеем ВС = О А/3 и ВС\\ОА. Разложить геометрически и аналитически вектор О А = а по векторам ОС = с и 0~Й = Ь.
Указание. Из AOBC можно с выразить через b и а и затем решить полученное уравнение относительно а.
2) Точка В делит дугу окружности AC= 90° в отношении 1 : 2. О — центр окружности. Разложить вектор ОС = с по векторам OA = а и 0~Й = Ь.
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве
1°. Определение. Пусть даны три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом О и дана точка M (рис. 17). Проекции
ее радиус-вектора OM = г на оси координат OMi = х, OM2 = у и OMs = z называются прямоугольными координатами точки M или
вектора г = OU.
2°. Радиус-вектор точки в пространстве. Модуль или длина радиус-вектора OM = г:
г = \/ X2 + у2 + z2. (1)
54
Гл.2. Векторная алгебра
Единичные векторы координатных осей i, j и к называются ортами.
Радиус-вектор выражается через орты:
г = Xi + yj + zk. (2)
3°. Вектор, заданный координатами начала и конца. Пусть даны точки A(X1; ух; Z1) и В(х2; у2; z2).
Проекции вектора u = AU на оси координат будут:
WpxAU = X пруА~В* = Y : ТЙ = Z -.
Рис. 17
прг
: X2 У2 -Z2 -
Z1.
(3)
Можно написать формулы, аналогичные формулам (1), (2)
