Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1°. H о р м а л ь н о е уравнение прямой
X cos ? + i/sin/3 — р = 0, (1)
где р — длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а ? — угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + c = Ok нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель
M = ± , взятый со знаком, противоположным знаку свобод-
ам2 + В2 ного члена С.
2°. Расстояние d от точки (жо; i/o) до прямой найдем, если в .левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (хо', i/o) « полученное число возьмем по абсолютной величине:
d = \х0 cos? + i/o sin/3 - р\, (2)
или
, \Ах0 + By0 +С\
V'А2 + В2
(2')
3°. Уравнения биссектрис углов между прямыми Ax + By + + С = 0 и A1X + В1У + Ci = 0:
Ax + By + С _ ^A1X + Дії/ + Ci \А42 + 52 " у/А2 + В2 ' ( '
4°. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:
а(Ак +Si/+ С)+ /3(Аіж +Sii/+ Ci) = O. (4)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка (4) вторую из данных прямых.
101. Привести к нормальному виду уравнения прямых: 1) Зж - 4у - 20 = 0; 2) ж + у + 3 = 0; 3) у = kx + Ъ.
102. Построить прямую, если длина нормали р = 2, а угол ? наклона ее к оси Ox равен: 1) 45°; 2) 135°; 3) 225°; 4) 315°. Написать уравнения этих прямых.
103. Найти расстояния от точек А(4; 3), В(2; 1) и C(I; 0) до прямой Зж + Ay — 10 = 0. Построить точки и прямую.
20
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
104. Найти расстояние от начала координат до прямой 12х — - 5у + 39 = 0.
105. Показать, что прямые 2х — Зу = 6 и 4ж — 6у = 25 параллельны, и найти расстояние между ними.
Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от нее до другой прямой.
106. Найти к из условия, что прямая у = кх + 5 удалена от начала координат на расстояние d = \/Ъ.
107. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 4ж — Зу = 0 на расстояние d = 4.
108. Составить уравнение прямой, удаленной от точки A(A; —2) на расстояние d = 4 и параллельной прямой 8ж — 15у = 0.
109. Написать уравнения биссектрис углов между прямыми 2ж + Зу = 10 и Зж + 2у = 10.
110. Написать уравнения биссектрис углов между прямыми Зх + Ay = 12 и у = 0.
111. Написать уравнение траектории точки М(ж; у), которая при своем движении остается втрое дальше от прямой у = 2х — 4, чем от прямой у = А — 2х.
112. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M пересечения прямых 2ж + г/ + 6 = 0иЗж + 5у — 15 = 0и через точку N(1, —2) (не находя точки M).
113. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M пересечения прямых 5ж — г/+10 = 0и8ж + 4г/-|-9 = 0и параллельной прямой ж + Зу = 0 (не находя точки M).
114. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(-3; 0), В(2; 5)и С(3; 2).
115. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; А) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.
116. Проверить, что точки А(—4; —3), В(—5; 0), С(5; 6) и D(I; 0) служат вершинами трапеции, и найти ее высоту.
117. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2; 2) и B(A; 0). Найти это расстояние.
118. Написать уравнения геометрического места точек, удаленных от прямой ж + 2у — 5 = 0 на расстояние, равное \/Ъ.
119. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается вдвое дальше от прямой у = ж, чем от прямой у = —ж.
120. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M пересечения прямых 2ж — Зг/ + 5 = 0иЗж + у — 7 = 0 и перпендикулярной к прямой у = 2х (не находя точки M).
7. Смешанные задачи на прямую
21
§ 7. Смешанные задачи на прямую
121. Через начало координат провести прямую, образующую с прямыми х+у=аих=0 треугольник площадью а2.
122. Даны точки А( —А; 0) и -B(O; 6). Через середину отрезка AB провести прямую, отсекающую на оси Ox отрезок, вдвое больший, чем на оси Oy.
123. Даны точки А( — 2; 0) и -В(2; —2). На отрезке OA построен параллелограмм ОACD, диагонали которого пересекаются в точке В. Написать уравнения сторон, диагоналей параллелограмма и найти угол CAD.
124. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у = 2х, у = —2х и у = X + Ь.
125. Из начала координат проведены две взаимно перпендикулярные прямые, образующие с прямой 2х-\-у = а равнобедренный треугольник. Найти площадь этого треугольника.
126. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: (AB) ж — Зу + 3 = 0и (АС) ж + 3г/ + 3 = 0и основание D( — l; 3) высоты AD.
127. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 3ж + г/ = 0иж — Зу = 0 и точка (5; 0) на его основании. Найти периметр и площадь треугольника.
128. В треугольнике ABC даны: 1) уравнение стороны (AB) Зж + 2у = 12; 2) уравнение высоты (BM) ж + 2у = 4; 3) уравнение высоты (AM) Ax + у = 6, где M — точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.
129. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = = X — 2 и 5у = ж + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
