Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
равна 2-\/5- Построить линию по ее уравнению.
48. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки F(2; 2) и от оси Ож. Построить линию по ее уравнению.
49. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ож, чем от оси Oy.
50. Построить линии: 1) у = 2х + 5; 2) у = 7 — 2ж; 3) у = 2х; А) у = А; 5) у = А - ж2.
51. Определить точки пересечения линии у = ж2 — 4ж + 3 с осями координат и построить ее.
52. Определить точки пересечения с осями координат линий: 1) Зж — 2у = 12; 2) у = ж2 + 4ж; 3) у2 = 2х + 4. Построить эти линии.
53. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси Oy и от точки F(A; 0), и построить линию по ее уравнению.
54. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х; у), равноудаленная от начала координат и от точки А(—А; 2). Лежат ли на этой линии точки В( — 2; 1), С(2; 3), -D(I; 7)?
14
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
55. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A(O; —1), чем к точке -B(O; 4). Построить траекторию движения.
56. Определить точки пересечения с осями координат линий: 1) 2х + 5у + 10 = 0; 2) у = 3 - 2х - ж2; 3) у2 = 4 - ж. Построить линии.
57. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси Ox и от точки F(O; 2), и построить линию по ее уравнению.
58. Написать уравнение геометрического места точек, разность расстояний от каждой из которых до точек Fi ( — 2; —2) и F(2; 2) равна 4. Построить линию по ее уравнению.
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) общее, 3) в отрезках на осях
1°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у = kx + Ь. (1)
Параметр к равен тангенсу угла а наклона прямой к оси Ox (к = = tga) и называется угловым коэффициентом, или иногда наклоном прямой. Параметр Ь — величина отрезка на оси Oy, или начальная ордината.
2°. Общее уравнение прямой
Ax +By+ C = 0. (2)
Особые случаи:
yd
а) при C = Oy =--X — прямая проходит через начало координат;
В
С
б) при 5 = 0 X = —- = а — прямая параллельна оси Oy;
А
С
в) при A = O у =--= Ь — прямая параллельна оси Ох;
В
г) при -B = C = O Ax = 0, X = 0 — ось Oy;
д) при A = C = O By = 0, у = 0 — ось Ох.
3°. Уравнение прямой в отрезках на осях
X у
- + т = 1> 3
а о
где а и 6 — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
59. Построить прямую, отсекающую на оси Oy отрезок Ь = = 3 и составляющую с осью Ox угол: 1) 45°; 2) 135°. Написать уравнения этих прямых.
60. Построить прямую, отсекающую на оси Oy отрезок Ь = = — 3 и составляющую с осью Ox угол: 1) 60°; 2) 120°. Написать уравнения этих прямых.
4. Уравнение прямой
15
61. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью Ox угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 90°;
62. Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку ( — 2; 3), и написать ее уравнение.
63. Определить параметры к и Ь для каждой из прямых:
64. Построить прямые:
1) Зж + Ay = 12; 2) Зж - 4у = 0; 3) 2ж - 5 = 0; 4) 2у + 5 = 0.
65. Определить параметры к ж Ь прямой, проходящей через точку А(2; 3) и составляющей с Ox угол 45°. Написать уравнение этой прямой.
66. Уравнения прямых: 1) 2ж — Зу = 6; 2) Зж — 2у + 4 = 0 привести к виду в отрезках на осях.
67. Даны точки 0(0; 0) и А(—3; 0). На отрезке OA построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке -В(0; 2). Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
68. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(A; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.
69. Прямые у = —2 и у = 4 пересекают прямую Зж — Ay — 5 = 0
соответственно в точках А и В. Построить вектор А~Й, определить его длину и его проекции на оси координат.
70. Лежат ли точки А(3; 5), В(2; 7), С(-1; -3) и D(-2; -6) на прямой у = 2х — 1 или же они «выше» или «ниже» этой прямой?
71. Каков геометрический смысл неравенств:
1) у > Зж + 1; 2) у < Зж + 1; 3) 2ж + у-4 ^ 0; 4) 2ж + у-4 < 0?
72. Построить области1), координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
1) у < 2 - X1 ж > -2, у > —2;
2) у > 2 - X1 ж < 4, у < 0;
73. Точка М(ж; у) движется так, что разность квадратов расстояний от нее до точек А( — а; а) и В(а; —а) остается равной 4а2. Написать уравнение ее траектории.
!) Слово «область» здесь означает часть плоскости хОу, координаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.
4) 120°; 5) 135°.
3) У
3)- + |^1, у^ж + 2
ж > -4.
16 Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
74. Написать уравнение траектории точки М(х; у), проекция которой на ось Ox движется со скоростью тоед/с, а на ось Oy — со скоростью п ед/с. Начальное положение точки Mq (а; Ъ).
75. Построить прямые, заданные параметрами: 1) Ь = —2, (р = = 60° и 2) Ь = —2, (р = 120°, и написать их уравнения.
