Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
130. Дан треугольник с вершинами А(0; —А), В(3; 0) и С(0; 6). Найти расстояние вершины С от биссектрисы угла А.
131. Написать уравнение траектории точки М(х; у), движущейся так, что сумма расстояний от нее до прямых у = 2х и у = —ж/2 остается постоянной и равной \/Ъ.
132. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
1)ж-2<у<0иж>0; 2) -2 ^ у ^ ж ^ 2; 3)2<2ж + у<8, ж>0иу>0.
133. Стороны AB и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2ж — у+ 5 = 0 и ж — 2у + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке M(I; А). Найти длины его высот.
134. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С(3; —1) и уравнение гипотенузы Зж — у + 2 = 0.
22
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
135. Даны две вершины треугольника А( —А; 3) и B(A-; —1) и точка пересечения высот М(3; 3). Найти третью вершину С.
136. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его сторон: ж + 2у = 4иж + 2у = 10, и уравнение одной из его диагоналей: у = ж + 2.
137. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(O; 2) и уравнения высот: (BM) ж + у = 4 и (СМ) у = 2ж, где M — точка пересечения высот.
138. Даны прямая ж + 2у — 4 = 0 и точка А(Ъ; 7). Найти: 1) проекцию В точки А на данную прямую; 2) отражение С точки А в данной прямой.
Указание. Написав уравнение перпендикуляра AB и решив его совместно с уравнением данной прямой, найдем точку В, которая есть середина AC.
139. Дана прямая 2ж + у — 6 = 0 и на ней две точки А и В с ординатами уд = 6 и ув = —2. Написать уравнение высоты A_D треугольника АОВ, найти ее длину и ADAB.
§ 8. Окружность
Уравнение окружности с центром в точке С (a; Ь) и радиусом, равным R:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2. (1)
Если в уравнении (1) раскрыть скобки, то оно примет вид
X2 + у2 + тх + ny + р = 0. (2)
Чтобы от уравнения (2) опять перейти к уравнению вида (1), нужно в левой части уравнения (2) выделить полные квадраты:
т\2 / п\2 т2 п2 , .
Ж+Т) +{У+2) =^+А~-р- (3)
140. Написать уравнение окружности с центром С (—А; 3), радиусом R = 5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А(-1;-1),В(3; 2),0(0; 0)?
141. Дана точка (—4; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.
142. Построить окружности: 1) ж2 + у2 — 4ж + 6у — 3 = 0; 2) ж2 + у2 - 8ж = 0; 3) ж2 + у2 + 4у = 0.
143. Построить окружность ж2 + у2 + 5ж = 0, прямую ж + у = 0 и найти точки их пересечения.
144. Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку A(I; 2).
8. Окружность
23
145. Найти угол между радиусами окружности ж2 + у2 + 4ж —
— Qy = O1 проведенными в точки пересечения ее с осью Oy.
146. Написать уравнение окружности, проходящей через точки 3),Я(0; 2) и C(I; -1).
Указание. Написать уравнение искомой окружности в виде х2 + + у2 + тх + пу + р = О, подставить в него координаты каждой точки и затем найти га, п и р.
147. Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружности ж2 + у2 + 4ж — Ay = 0 с прямой у = — ж и через точку A(A; А).
148. Определить область расположения кривой у = —\/—х2 — Ах. Построить кривую.
149. Написать уравнение касательных к окружности ж2 + у2 —
— 8ж — Ay + 16 = 0, проведенных из начала координат.
150. Дана точка А(а; 0). Точка M движется так, что в AOMA угол ОМА остается прямым. Определить траекторию движения точки М.
151. Даны точки А( — 6; 0) и В(2; 0). Найти геометрическое место точек, из которых отрезки OA и OB видны под равными углами.
152. Определить траекторию точки М(х; у), движущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее до точек А( — а; 0), -В(0; а) и С(а; 0) остается равной За2.
153. Определить траекторию точки М(х; у), движущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее до биссектрис координатных углов остается равной а2.
154. Дана окружность ж2 + у2 = а2. Из ее точки А(а; 0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин этих хорд.
155. Даны точки А( — 3; 0) и -В(3; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок AB.
156. Найти центры и радиусы окружностей: 1) ж2 + у2 — 6ж + + 4у - 23 = 0; 2) ж2 + у2 + 5ж - 7у + 2, 5 = 0; 3) ж2 + у2 + 7у = 0. Построить окружности.
157. Окружность касается оси Ож в начале координат и проходит через точку А(0; —А). Написать уравнение окружности и найти точки пересечения ее с биссектрисами координатных углов.
158. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки пересечения прямой ж + у + а = 0с окружностью ж2 + у2 = а2.
24
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
159. Написать уравнения касательных, проведенных из начала координат к окружности, проходящей через точки A(I; — 2), S(O; -1) и С(-3; 0).
160. Найти угол между радиусами окружности ж2 + у2 — Ax + + 6у — 5 = 0, проведенными в точки пересечения ее с осью Ох.
161. Показать, что точка А(3; 0) лежит внутри окружности ж2 + + у2 — Ax + 2у + 1 = 0, и написать уравнение хорды, делящейся в точке А пополам.
Указание. Искомая хорда перпендикулярна к CA, где С — центр окружности.
