Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
76. Определить параметры к и Ь прямой, проходящей через точку ( — 2; 3) и составляющей с Ox угол 45°. Построить прямую и написать ее уравнение.
77. Равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 2 см имеет острый угол 45°. Написать уравнения сторон трапеции, приняв за ось Ox большее основание и за ось Oy — ось симметрии трапеции.
78. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось Ox и меньшую — за ось Oy.
79. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник площадью 6.
80. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от прямой х = —3.
81. Прямые X = — 1 и ж = 3 пересекают прямую у = 2х + 1 в
точках А и В. Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.
§ 5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Точка пересечения двух прямых
1°. Угол ср, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у = = к1х + Ь\ до прямой у = к2х + Ь2, определяется формулой
, к2 - h
1 + кхк2
Для прямых, заданных уравнениями
AlX + Biy + Ci = 0 и А2х + В2у + С2 = 0, формула (1) примет вид
= A1B2-A2B1 gLp A1A2+ B1B2'
Условие параллельности: к1 = к2 или —— = —-.
A2 B2
Условие перпендикулярности: k2 =--или A1A2 + B1B2 = 0.
fci
:5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых
17
2°. Уравнение пучка пр я м ы х, проходящих через данную точку A(X1; yi):
у - ух = k(x - Xi).
(2)
3°. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и В(х2;у2):
У -Vi
2/2 - 2/1 X2- Xi
(3)
4°. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых AiX + Bi у + Ci = 0 и А2х + В2у + C2 = 0, нужно решить совместно их уравнения. Получим:
-С\ Bi -C2 B2
Ai Bi A2 B2
Ai -с\
A2 -C2
Ai Bi
A2 B2
82. Определить угол между прямыми: 1) У = 2ж - 3, у =^х + 1;
2)5ж-у + 7 = 0, 2ж-Зу + 1 = 0;
3) 2ж + у = 0, у = Зж-4;
4)3ж + 2у = 0, 6ж + 4у + 9 = 0;
5) Зж-4у = 6, 8ж + 6у = 11; X у X у
6 " + I = 1' T+=1-
ab b a
83. Среди прямых Зж—2у+7 = 0, 6ж—Ay-9 = 0, 6ж+4у—5 = О, 2ж + Зу — 6 = 0 указать параллельные и перпендикулярные.
84. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку А(2; 3). Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ox углы: 1) 45°; 2) 60°; 3) 135°; 4) 0°, и построить их.
85. Построить точку А( — 2; 5) и прямую 2ж — у = 0. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через А, и выбрать из пучка: 1) прямую, параллельную данной; 2) прямую, перпендикулярную к данной.
86. В точках пересечения прямой 2ж — Ъу — 10 = 0 с осями координат восставлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.
87. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 3) и B(A; -2).
18
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
88. В треугольнике с вершинами А( — 2; 0), В(2; 6) и C(A; 2) проведены высота BD и медиана _ВЕ\ Написать уравнения стороны АС, медианы BE и высоты BD.
89. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями ж + 2у = 0, ж + Ay — 6 = 0, ж — 4у — 6 = 0.
Указание. Чтобы найти внутренние углы треугольника, нужно угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания: к\ > к2 >
к\ — к'2 к'2 — кз
> кз, затем вычислять тангенсы углов по формулам--——,--——,
1 + kik-2 1 + Aj2K3
--——. Убедиться в этом из чертежа, поместив одну из вершин в
1 + кікз
начале координат.
90. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат под углом 45° к прямой у = А — 2х.
91. Написать уравнения прямых, проходящих через точку А( — 1; 1) под углом 45° к прямой 2ж + Зу = 6.
92. Из точки А(Ъ; 4) выходит луч света под углом р> = arctg2 к оси Ox и от нее отражается. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.
93. Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями ж + Зу = 0, ж = 3, ж — 2у + 3 = 0.
94. Отрезок прямой Зж + 2у = 6, отсеченный осями координат, служит гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти вершину прямого угла, если известно, что она лежит «выше» данной прямой.
95. Дан треугольник с вершинами А( — 2; 0), В(2; 4) и C(A; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы AE, высоты AD и найти длину медианы AE.
96. Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с вершинами А(0; 7), B(Q; -1) и С(2; 1).
97. Прямая 2ж — у + 8 = 0 пересекает оси Ox и Oy в точках А я В. Точка M делит AB в отношении AM : MB = 3:1. Написать уравнение перпендикуляра, восставленного в точке M к прямой AB.
98. Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями ж + у = 4, Зж — у = 0, х — Зу — 8 = 0; найти углы и площадь треугольника.
99. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого А(—А; 2), В(2; —5) и С(5; 0).
100. Из точки А( — 5; 6) выходит луч света под углом р> = = arctg ( —2) к оси Ox и отражается от оси Ох, а затем от оси Oy. Написать уравнения всех трех лучей.
6. Нормальное уравнение прямой
19
§ 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых
