Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 Итальянские авторы иногда причисляют к своим соотечественникам Лагран-жа. Француз по происхождению, он родился в 1736 г. в Турине, был одним из основателей Туринской академии Но уже в 1766 г он уехал в Германию, а затем в '1787 г. во Францию, где it остался до конца жизни. Основные его
144
прошлого столетия, приведший к превращению в 1859—1861 гг. Италии из географического понятия в национальное государство, объединение которого завершилось присоединением к нему Венецианской и Римской областей (соответственно в 1866 и 1870 гг.), был одним из главных факторов, обусловивших подъем исследований по анализу и по теории функций.
Основная заслуга в возрождении аналитических изысканий в Италии принадлежит трем ее видным математикам — Энрико Бетти (1823—1892), Франческо Бриоски (1824—1897) и Феличе Казорати (1835—1890). Именно они после совместной поездки в 1858 г. во Францию и Германию и установления там связей со многими учеными начали работать сами и привлекли к аналитическим изысканиям молодых ученых. «Именно благодаря их учебной работе, их трудам, их неустанным побуждениям своих учеников и молодых ученых к научным исследованиям, благодаря влиянию, которое они оказывали на организацию высшего образования, благодаря отношениям, которые они установили между нашей родиной и заграницей, мы и имеем молодую школу аналистов Италии» (Вольтерра [1, с. 1]).
В интересующей нас области математического знания особенно проявили себя три математика следующего поколения — ДжулиоАсколи (1843—1896), Уллис Дини (1845—1918) и Чеза-ре Арцела (1847—1912), являвшихся учениками трех названных выше ученых.
Из теоретико-функциональных результатов Асколи остановимся на следующих. Вопрос об условиях, накладываемых на функцию с тем, чтобы представляющий ее тригонометрический ряд был рядом Фурье, являлся в XIX веке одним из центральных вопросов теории тригонометрических рядов. Инициатором его постановки стал Асколи (1873 г.), сделавший первый шаг на пути к известной теореме Дюбуа-Реймона и ее обобщениям. Подход к интегралу Римана через совпадение граней интегральных сумм играл важную роль в теории интеграла. У истоков этого подхода мы опять-таки встречаем имя Асколи, который первым стал рассматривать само понятие интеграла как общее значение указанных граней (1875, 1895 гг.). Но наиболее существенным достижением Асколи явилось установление им условий компактности семейства функций или кривых (1883—1884, 1888 гг.) и введение в связи с этим понятия равностепенной непрерывности, часто не совсем правильно связываемых с именем Арцела. Именно Асколи впервые сформулировал и доказал необходимые и достаточные условия. Вряд ли следует подчеркивать важность этого результата для теории функций и функционального анализа. К сожалению, работы Асколи написаны на трудном математическом языке, их расшифровка еще полностью
работы не оказали в то время существенного влияния на развитие математической мысли в Италии.
145
не проделана, и не исключено, что в них скрываются другие интересные результаты.
Дини, пожалуй, был наиболее крупным специалистом в области теории функций действительного переменного в XIX столетии. Ему принадлежат несколько монографий по этой дисциплине, а также большое число статей. Его книга «Основы теории функций действительного переменного» (1878 г.) являлась лучшим трактатом по этому предмету в последней четверти прошлого столетия и в начале XX в. Ее он продолжил трактатом «Ряды Фурье и другие аналитические представления функций действительного переменного» (1880 г.). Подготовил Дини и рторой том последней книги; его читали некоторые его современники (Вольтерра, Форд, Нильс Нильсен и др.); в 1880 г. книга начала было печататься, но затем уже набранные страницы были по неизвестным нам причинам уничтожены, и она так и не увидела света. Дини принадлежит также четырехтомный трактат по анализу.
Трудно назвать область теории функций действительного переменного, в которую Дини не внес бы существенный вклад. Он занимался вопросами дифференцирования и интегрирования, разными видами сходимости функциональных рядов, тригонометрическими и другими ортогональными разложениями, теорией сингулярных интегралов и т. д. Упомянем только о введении им целого класса нигде не дифференцируемых функций (1877 г.), понятия производных чисел (1878 г.), обобщенной равномерной сходимости (1878 г.), критериев сходимости тригонометрических рядов (1880 г.). Видимо, его наибольшим достижением в теоретико-функциональном плане является последовательное привлечение идей только что нарождавшейся теории множеств для переформулировки, обобщения, углубления и уточнения основных положений анализа; то, что сейчас это выглядит довольно скромно, не умаляет его исторической заслуги в этом. Были у Дини предшественники в этом отношении — Ган-кель, Кантор, Дюбуа-Реймон, Смит, но каждый из них осуществлял такую перестройку в отдельных вопросах, тогда как он в своих «Основах теории функций действительного переменного» сделал это для всего анализа, фактически построив первый этаж здания новой науки. Правда, фундамент последней — теория точечных множеств — еще был тогда слишком слаб, тем не менее Дини сумел воспользоваться чуть ли не каждым выработанным его кирпичом.
