Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Большой заслугой Вольтерры перед теорией функций явилось уже упоминавшееся воздействие, оказанное им на Бэра
4 См. Лебег [21, с 203, сноска].
5 См. Ж Таннери [5, с. 297].
150
(с. 36). Вольтерра, вероятно, в большой мере способствовал приобщению последнего к кругу теоретико-функциональных идей итальянцев, и недаром Бэр посвятил свою диссертацию Дини и Вольтерре.
Другая троица названных выше математиков этого периода — Виванти, Чезаро и Беттацци — принадлежит к ученым меньшего ранга. Тем не менее в истории теории функций и множеств, особенно это касается Италии, их имена не следует забывать.
Виванти был активным распространителем теоретико-множественных идей Кантора и внес некоторый вклад в их разработку (например, в теорию n-кратно упорядоченных множеств, 1889— 1890 гг.); он участвовал в написании упоминавшегося «Математического формуляра» (1895 г.); ему принадлежит одно из наиболее простых доказательств теоремы Арцела о непрерывности суммы сходящегося квазиравномерно ряда непрерывных функций (1910 г.). Видимо, следует упомянуть, что в 1888 г. он, независимо от Вольтерры и Пуанкаре, доказал, что множество значений, принимаемых аналитической функцией в точке, не более чем счетно; занимался он и векторным исчислением; ему принадлежит ряд работ по истории математики, в частности пер-ная библиография работ по теории множеств. О его известности в начале столетия свидетельствует, например, тот факт, что Егоров в 1910 г. в инструкции Лузину для поездки за границу рекомендовал последнему познакомиться, наряду с такими первоклассными учеными, как Клейн, Гильберт, Пуанкаре, Пикар, Пенлеве, Борель, Адамар, Бэр, Цермело, Пеано и Пинкерле, также и с Виванти в.
Математические интересы Чезаро были многообразными: он занимался теорией чисел, теорией функций комплексного переменного, геометрией, интегральными уравнениями, некоторыми вопросами теории вероятностей, исчислением конечных разностей. Ему принадлежит несколько учебных руководств, в том числе широко известный курс алгебраического анализа, неоднократно издававшийся в Италии и переведенный па немецкий и русский языки; этот курс имел не только большое методическое значение, но и служил отправным пунктом многих чисто научных исследований. Но наиболее знаменит Чезаро своими исследованиями по теории рядов, особенно расходящихся, начатыми в конце 80-х годов и интенсивно проводившимися им в 90-е годы прошлого столетия. Его метод суммирования расходящихся рядов, развитый им до появления первых работ Бореля по расходящимся рядам, благодаря его прозрачности и элегантности нашел чрезвычайно многочисленные применения, особенно после того, как в 1900—1904 гг. Фейер применил его в теории тригонометрических рядов, а Лебег расширил эти применения. Зани-
Архнв МГУ, 1906, д. № 562, л 32.
151
малея Чезаро и непрерывными функциями без производных (1897, 1906 гг.).
Беттацци известен, главным образом, его книгой «Теория величин» (1891 г.), содержавшей, в частности, изложение многих результатов теории множеств (кстати, Беттацци внес и собственный вклад в теорию упорядоченных множеств, и, например, хаусдорфовские скачки, сечения и пробелы в упорядоченном множестве 7 восходят к этой книге, если не считать самой работы Дедекинда (1872 г.). Интересна его работа «О концепциях дифференцирования и интегрирования функций нескольких переменных» (1884 г.), в которой предложено определение производной функции нескольких переменных в виде предела отношения
f(x + h,y + k)-f(x + h,y)-f(x,y + k) + f(x,y) Hk
(для функций двух переменных), указано на отличие этой производной от смешанных производных и на связь с кратным интегралом Римана. Здесь же содержится в известном смысле предвосхищение мероопределения Пеано — Жордана; понятие производного числа распространено на функции нескольких переменных (Дини вводил производные числа только для функций одного переменного); то же сделано для верхних и нижних интегралов Римана. Отметим также еще теорему Беттацци о множествах значений, принимаемых функцией f(x) в точке X0 при Xn-^x0 по различным последовательностям {хп} (1892 г.). Можно еще указать на цикл его работ по теории множеств (1895—1898 гг.), на полемику об актуально бесконечно малых величинах и связанную с этим проблему трансфинитных чисел, активное участие в которой в 90-х годах принял Беттацци, склоняясь к своеобразным представлениям о трансфинитных числах, разработанным Веронезе (1891 г.) и развитым Леви-Чивитой (1892, 1898 гг.).
В заключение этого параграфа несколько слов еще о двух сотрудниках Пеано, участвовавших в написании «Математического формуляра»,—Чезаре Бурали-Форти (1861—1931) и Джо-ванни Вайлати (1863—1909). Они, кажется, не занимались собственно теорией функций, и их основные интересы были сосредоточены в области теории множеств и математической логики; Бурали-Форти много трудился также над векторным исчислением. Чтение их работ, особенно работ Бурали-Форти, очень затрудняется тем, что многие из них написаны на языке «Формуляра». О знаменитом парадоксе теории множеств, открытом Бурали-Форти, мы уже много говорили; можно отметить, что в ряде своих работ 90-х годов он развивал в некоторых отношениях идеи теории функций множества, но выявить их реальное
