Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
* Напомним, что Лебег опубликовал свое первое сообщение о новом понятии интеграла в 1901 г, а его диссертация появилась в самом известном итальянском математическом журнале в 1902 г.
9 См. Хокинс [1, с. 146, 147].
154
членном интегрировании рядов суммируемых функций (1906 г.), теорему Фубини о сведении кратных интегралов к повторным (1907 г.), iV-свойство измеримых функций и применение его для характеристики неопределенных интегралов Лебега (Леви, 1907 г.). Итальянскими учеными было предложено несколько оригинальных теорий интегрирования, как эквивалентных лебе-говской, так и обобщающих ее, о двух из которых мы еще скажем несколько слов в конце параграфа.
Разложениями функций в ряды и различными видами сходимости занимались очень многие итальянцы, кроме упоминавшихся выше: Джузеппе Лоричелла, дель Ангола, Карло Северини, Витали, Тонелли, Налли, Санья, Сансоне и др. В их исследованиях своеобразно переплетались результаты трудов соотечественников предшествующего периода с достижениями французских коллег. Приведем несколько примеров.
Ранее было отмечено (с. 29), что Пинкерле за несколько лет до Бореля установил своеобразную форму теоремы о конечном покрытии и указал на применение ее для доказательства ряда теорем анализа. В 1895 г. ее в более привычной форме установил Борель для счетных покрытий, а затем У. Г. Юнг и Лебег распространили ее на несчетные покрытия. В 1907 г. дель Ангола (кажется, не зная о теореме Пинкерле) вновь сформулировал и доказал ее вариант и показал, что теорема Бореля и ее обобщение Лебегом получаются из теоремы Пинкерле как следствия. Тогда же он показал, что с ее помощью относительно просто получается доказательство теоремы Арцела, передоказанной незадолго до этого Борелем (1905 г.), относительно необходимых и достаточных условий непрерывности суммы ряда непрерывных функций. Свои исследования в этом направлении дель Ангола продолжил в 1908—1910 гг.
В § 3 второй главы мы говорили, что Лебег в заметке 1903 г. [11] сформулировал теорему Егорова, согласно которой сходящаяся почти всюду последовательность измеримых почти везде конечных функций, заданных на ограниченном измеримом множестве, сходится равномерно, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры. Северини, опираясь на заметки Бореля [27] и Лебега [11], доказал эту теорему для того частного случая, когда сходящейся почти всюду последовательностью является последовательность ортогональных функций, причем в его рассуждения не входил сам факт ортогональности рассматривавшихся функций и его доказательство пригодно для общего случая. Теперь итальянские авторы обычно называют эту теорему теоремой Егорова — Северини или даже Северини — Егорова.
Ранее отмечалось (с. 35, 45), что Борель и Лебег сформулировали в 1903 г. без доказательства теорему, что всякая измеримая почти везде конечная функция является непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры; вместе с тем Лебег отметил, что это свойство является характеристическим
155
для этого класса функций, т е. что и, наоборот, всякая функция, обладающая им, является измеримой почти везде конечной. Витали в 1905 г. доказал первую и основную часть этой теоремы и применил ее для получения другой важной теоремы, что всякая измеримая в этом смысле функция эквивалентна некоторой функции не выше второго класса по классификации Бэра. В 1922 г. и Тонелли изменил само определение измеримой функции, предложенное Лебегом, положив в основу его указанное выше характеристическое свойство, а затем воспользовался им для придания новой формы интегралу Лебега (1924 г.). Одним из основных стимулов к новому подходу Тонелли к лебеговским концепциям было желание избежать применения в рассуждениях аксиомы произвольного выбора, так как он присоединялся к своим французским коллегам в недоверчивом отношении к этой аксиоме.
Вообще в исследованиях итальянских математиков изучение аксиомы Цермело заняло большое место. Еще в 1890 г., как было уже замечено, Пеано усомнился в ее свободном применении. В 1902 г. ее довольно отчетливо применил Леви и даже указал на то, что ею можно пользоваться в тех случаях, когда множества рассматриваемого семейства являются вполне упорядоченными, связав тем самым — еще до Цермело — проблему полного упорядочения с аксиомой произвольного выбора. Дискуссия во Франции, несомненно, оказала сильное влияние на отношение итальянцев к аксиоме выбора и еще больше побудила их к изучению как самой аксиомы, так и ее связей с другими вопросами математики. В частности, они много занимались выявлением связей аксиомы выбора с понятием измеримого множества (функции) —Витали (1905 г.), Тонелли (1922, 1924 гг.); с понятием предела функции — Чиппола (1913 г.), Санья (1915 г.), Кассина (1928, 1931, 1936—1937 гг.) и др.; с теорией нормальных семейств функций по Монтелю — Минетти (1932 г.), Леви и Виола (1933 г.) и т. д. Ряд работ был посвящен ослабленной форме этой аксиомы, так называемому принципу аппроксимации Леви и его применениям в различных рассуждениях анализа и теории функций: Леви (1918, 1923, 1934 гг.), Виола (1931, 1932, 1934 гг.), Скорца Драгони (1936 г.), например, при доказательстве теоремы Лузина или ряда теорем теории функций множеств. Любопытно при этом то, что хотя Лебег, как мы говорили, не признавал аксиомы выбора, активно выступал против нее, тем не менее после этих выступлений довольно широко, правда по большей части неявно, применял ее позднее, что убедительно показал Виола (1934 г.),— это еще один пример того, что при проведении конкретных исследований математики очень часто «забывают» свои общие установки и действуют нередко вопреки им.
