Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В 1901—1904 гг. Лебег построил свою теорию одномерного интегрирования; в 1905 г. к той же теории, как сказано, пришел и У. Г. Юнг. Введенное ими понятие интеграла имело тот недостаток, что было применимо только к абсолютно интегрируемым функциям. Между тем гарнаковское обобщение интеграла Римана позволяло снять это ограничение во многих случаях и не вмещалось в рамки лебеговской концепции. В 1907 г. Гобсон определил интеграл Лебега — Гарнака, соединивший в себе достоинства обоих определений; в 1909 г. он продолжил изучение
15 Напомним, что лебеговское мероопределение появилось в печати в 1902 г. [8]; краткие указания на него в заметке Лебега [7], даже если бы они были известны У. Г Юнгу, тогда было трудно еще воспринимать как новое мероопределение, а только, разве, как указание на важность понятия меры.
164
его свойств. Но в 1912 г. Данжуа предложил новую концепцию интегрирования, включившую в себя интегрирование в смысле Лебега — Гарнака как частный случай, и определение Гобсона было забыто. С 1916 г. Хинчин и Данжуа начали изучать еще более общий интеграционный процесс, зато в 1929 г. Титчмарш ввел концепцию Л-интеграла, не вмещающуюся в интегралы Данжуа.
До 1910 г. французы игнорировали идею стилтьесовского интегрирования. В этом году Лебег заинтересовался ею, но сделал попытку свести интеграл Стилтьеса к своему интегралу. Тогда же Фреше обобщил интеграл Стилтьеса на многомерный случай, но в пределах римано-стилтьесовского подхода. В 1914 г. У. Г. Юнг разработал теорию интеграла Лебега — Стилтьеса, частным случаем которой (но не забытой) оказалась лебегов-ская концепция.
В 1910 г. Лебег по-новому подошел к многомерному интегрированию— через идею функции множества, но не дошел до многомерного интегрирования по Стилтьесу (это сделал Радон в 1913 г.), а в 1915 г. Фреше, отталкиваясь от соображений Лебега и Радона и привлекая некоторые черты юнговского подхода, предложил чрезвычайно общую теорию, охватившую собой теории Лебега — Радона — Юнга.
В рамках абстрактных соображений Фреше не нашлось места для операции дифференцирования, а тем более для ее связи с интегрированием. Между тем такая связь на протяжении столетий была очень плодотворной. В 1916 г. У. Г. Юнг и независимо в 1918 г. Даниель начали разработку операции дифференцирования функции по функции и ее связей со стилтьесовским интегрированием в одномерном случае, а затем в 1927 и 1930 гг. последний распространил эту связь и на многомерный случай.
Еще более радикальный отход от построений Фреше совершил Бёркил в 1924 г., введя интегрирование функций множества; его интегрирование, развитое затем им самим, Колмогоровым, Гливенко, Ионеску Тульчей и др., далеко превзошло по степени общности концепцию Фреше.
Подобное соревнование происходило не только в рамках столь общих представлений, а доходило до соперничества в довольно конкретных результатах. Лебег, разрабатывая свою теорию интегрирования, не сразу, например, установил ряд свойств интеграла, вроде вопроса о замене переменных, теорем о среднем значении и т. д. В 1909—1910 гг. Гобсон и Лебег почти одновременно обращаются к ним и по-разному устанавливают их.
В общем можно сказать, что в разработке теорий интегрирования англичане оказались достойными соперниками своих французских коллег. И если первоначально, примерно до 1916 г., пальму первенства следовало бы присудить французам, то в последующий период ее пришлось бы отдать англичанам.
165
Так обстояло дело не только с такими фундаментальными понятиями, как мера и интеграл, но и с отдельными вспомогательными предложениями или даже отдельными фактами. В качестве первого примера приведем такой. Начиная с 1885 г., Арцела в ряде работ пользовался леммой, которую можно сформулировать так: если задана последовательность измеримых множеств, мера каждого из которых превосходит фиксированное число т, то верхний предел этой последовательности есть измеримое множество меры т — є, где є сколь угодно мало. В 1903 г. Борель [27] сформулировал ее без доказательства как новое предложение и сделал из нее вывод о том, что всякая ?-функция обладает С-свойством. Одновременно к этой же лемме пришел и У. Г. Юнг, причем с осознанием того, что она восходит к Арцела (который рассматривал последовательность множеств, образованных конечным числом интервалов).
Второй пример еще более любопытен. Шёнфлис в своем «Отчете о теории множеств» (1900 г.) неправильно изложил один результат Бэра, интерпретируя его так, будто проекция на прямую линию плоского нигде не плотного множества, не содержащего прямолинейных отрезков или отрезков кривых, является замкнутым нигде не плотным множеством. Бэр заметил эту ошибку Шёнфлиса и сообщил последнему контрпример. До 1905 г. бэровский пример не появлялся в печати, и У. Г. Юнг построил аналогичный пример (1905 г.),опровергающий утверждение Шёнфлиса. Только после публикации У. Г. Юнга Шёнфлис сообщил и пример Бэра.
Если У. Г. Юнг шел к идеям французских ученых в отношении меры и интеграла в значительной мере независимо, то исследования по расходящимся рядам и интегралам Харди начинал после того, как он полностью разобрался в трудах своих французских предшественников. Свои первые мемуары по этой проблематике (1904 г.) Харди начинает с указаний на работы Бореля, Сервана, Леруа и, например, один из мемуаров считает просто дополнением к третьей главе борелевских «Лекций о расходящихся рядах». Не забывает он и работ Чезаро по расходящимся рядам, сопоставляя методы суммирования последнего с методами Бореля.
