Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
' См. Хаусдорф [1, с. 56].
152
содержание довольно Трудно без хорошего знания языка «Формуляра». Из исследований Вайлати упомянем его анализ различных способов упорядочения множеств (90-е годы).
§ 3. Италия. Второй период
Ученые Италии в ряде случаев опередили французов в теории функций. Начиная с Дини и Асколи, они стали строить теорию функций на основе теории множеств. Дини изучал признаки сходимости тригонометрических рядов в 1880 г., а Лебег в 1905 г., причем последний существенно опирался на работы первого; Вольтерра построил пример неинтегрируемой по Риману ограниченной производной в 1881 г., а Лебег, во многом отталкиваясь от этого примера, вводит новое понятие интеграла в 1901 г.; Пеано ввел свое мероопределение в 1887 г., а Жордан — в 1892 г.; Пинкерле открыл теорему о конечном покрытии в 1881 г., а Борель — в 1895 г; Чезаро начал заниматься расходящимися рядами за несколько лет до Бореля и Лебега; Пеано изучал функции множества в 1887 г., а Лебег приступил к их изучению только в 1910 г.; в аксиоме произвольного выбора Пеано усомнился в 1890 г., а французы стали спорить о ней только в 1905 г.; Бурали-Форти обнаружил первый парадокс теории множеств в 1897 г., а ученые Франции стали говорить о нем лишь с 1904 г.; Арцела изучал квазиравномерную сходимость начиная с 1884 г.; а Борель занялся ею в 1905 г., и т. д. Вообще, в конце XIX в. в Италии сложилась довольно сильная теоретико-функциональная школа со своими традициями, методами исследования, сформировались определенные шаблоны математического мышления, каноны преподавания в высших учебных заведениях. Когда ведущей школой стала французская школа, преодолеть установившуюся инерцию научного движения итальянцам было нелегко. И тот факт, что они ее преодолели, вошли в русло новых научных идей французов — правда, с отдельными, в общем-то неудачными попытками вырваться из этого потока (о чем несколько далее), говорит о силе воздействия именно французов.
В настоящем параграфе мы применим несколько иной тип изложения, чем в предыдущем,— постараемся проследить отдельные линии развития, представляющиеся нам интересными в рассматриваемом отношении.
Вопросы интегрирования функций интересовали итальянцев и ими, как мы уже говорили, занимались Асколи, Дини, Арцела, Пеано, Вольтерра и Беттацци. Они получили отдельные замечательные результаты, но для коренного переворота в развитии теории интегрирования нужно было более решительное привлечение в эту теорию теоретико-множественных представлений. Кроме того, требовалась дальнейшая разработка последних. В Италии были, несомненно, условия для такой разработки, но
153
этому помешали разные обстоятельства, не последними из которых явились длительный отход Дини от занятий математикой, переключение интересов Арцела, Пинкерле, Пеано, Вольтерры на другие отрасли математики.
Как справедливо заметил Хокинс [1, с. X], понятие интеграла Римана казалось в XIX в. предельно общим и было трудно вырваться за рамки этой концепции. Упомянутые итальянцы разрабатывали в общем-то ее, и даже, когда Пеано в 1887 г. далеко вышел за ее пределы, фактически подойдя к интегрированию в смысле Лебега — Стилтьеса, он вряд ли осознавал это. В начале XX столетия римановской теорией интегрирования занялся и Джузеппе Витали (1875—1932). Он первоначально не был знаком с идеями Лебега 8 и изучал условия интегрируемости по Риману. В своих исследованиях он, независимо от Лебега, пришел в 1904 г. к понятию лебеговской меры9, и, вероятно, если бы лебеговской теории интеграла не существовало, ему было бы тогда нетрудно приступить к построению аналогичной теории. Но в том же 1904 г. он познакомился с лебеговской диссертацией, и необходимость для него в таком построении не возникла. Подготовленный своими предшествующими работами, он быстро усвоил новые идеи и начал их энергичную разработку, опубликовав в 1904—1905 гг. около десятка работ по лебегов-сой теории и продвинувшись в ряде существенных пунктов дальше Лебега. Так, в 1904—1905 гг. Витали более осознанно, чем Лебег, ввел понятие абсолютно непрерывной функции и доказал, что для того, чтобы заданная функция являлась неопределенным интегралом Лебега, необходимо и достаточно, чтобы она была абсолютно непрерывной; в 1905 г., опираясь на аксиому Цермело, он впервые установил существование неизмеримых по Лебегу множеств; в 1907 г. нашел необходимые и достаточные условия почленной интегрируемости последовательности суммируемых функций в терминах равностепенной непрерывности; в 1908 г. доказал знаменитую теорему о покрытии, известную под его именем, и мало какая другая теорема теории функций столько раз передоказывалась, обобщалась, уточнялась столь большим числом математиков, включая Лебега (1910 г.), и т. д. Так что в теории меры и интеграла Витали выступил не только как продолжатель идей и методов Лебега, но и как его достойный соперник.
Кроме Витали, этими проблемами занимались, и тоже с успехом, Беппо Леви (1875—1961), Гвидо Фубини (1879—1943), Леонида Тонелли (1885—1946), Пиа Налли (1886—1965), Джу-лио Андреоли (р. 1892 г.) и другие итальянские ученые. Упомянем лишь некоторые из их результатов: теорему Леви о по-
