Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В 80-х годах, когда теория точечных множеств получила дальнейшее мощное развитие и когда сложились более благоприятные условия для реализации замысла Дини, он надолго отошел от занятий математикой, и его намерения стали осуществлять другие. Когда же он в начале XX столетия вновь обратился к математике, то оказалось, что он практически безнадежно отстал и уже не сумел добраться до ее переднего края.
146
Третьим видным представителем итальянской школы теории функций, хотя и меньшего, чем Дини, ранга, был Арцела. Он ввел одно из важнейших понятий теории функций — понятие квазиравномерной сходимости последовательности функций (1883—1884 гг.), изучил отдельные свойства этой сходимости и применил ее в ряде вопросов, в частности для установления необходимых и достаточных условий, непрерывности суммы ряда непрерывных функций, для нахождения условий интегрируемости рядов. Ему принадлежит достаточно общая форма одной из основных теорем теории интегрирования — теоремы о возможности почленного интегрирования рядов с равномерно ограниченными остатками (1885 г.); эту теорему впоследствии переоткрыл в более общем виде Лебег, не зная об этом результате Арцела, а лишь опираясь на более частную, к тому же и доказанную позднее, теорему Осгуда (1897 г.). К Арцела восходит и другая важная теорема Лебега (о чем Лебег тоже, по-видимому, не знал), что сходящаяся почти всюду последовательность измеримых почти везде конечных функций сходится и по мере; Арцела сформулировал и доказал ее в 1885 г.— правда, не в такой именно формулировке, но все же довольно близкой к ней.
Велика заслуга Арцела в переосмысливании условий компактности Асколи, в осознании значимости их для многих вопросов анализа, в частности для доказательства существования решения уравнения dy/dx=f(x, у), для решения проблемы Дирихле и т. д. Цикл его исследований 80—90-х годов по этим вопросам послужил истоком многих последующих изысканий других авторов, что, как мы упоминали, явилось причиной того, что сами условия компактности стали связываться с фамилией Арцела, хотя он прямо и не раз указывал на принадлежность их Асколи. Ввел Арцела и одно из определений ограниченности вариации функций нескольких переменных (1904—1905 гг.) 2, занимался вопросами двойных интегралов Римана (1902— 1904 гг.), взаимоотношениями между разного рода равномерными сходимостями последовательностей функций (1899—1900 гг.) и т. д.
Следующую группу итальянских аналистов образуют Саль-ваторе Пинкерле (1853—1936), Джузеппе Пеано (1858—1932), Эрнесто Чезаро (1859—1906), Вито Вольтерра (1860—1940), к которым можно причислить Джулио Виванти (1859—1949) и Родольфо Беттацци. Почти все они начинали свою математическую деятельность в области теории функций и лишь затем ушли в другие области математики.
Главные труды Пинкерле принадлежат теории функций комплексного переменного и функциональному анализу, но и в рас-
2 Существует несколько определений понятия функции с ограниченным изменением в случае нескольких переменных (Харди, Фреше, Тонелли и др.); эти определения в общем не эквивалентны и применяются каждое к определенному кругу вопросов.
147
сматриваемой нами дисциплине он оставил заметный след. Следует отметить издание им в 1880 г. «Введения в теорию аналитических функций по принципам проф. К. Вейерштрасса». Их основное содержание относится к теории функций комплексного переменного, но теоретико-множественная основа вейерштрас-совского подхода, его методы рассуждений, его є, б-язык стали затем обиходными и в теории функций действительного переменного. Заслуга Линкерле состояла в том, что он в систематически отработанной форме довел до сведения ученых многие идеи и методы Вейерштрасса, который сам не любил публиковаться. Интересным результатом Пинкерле является формулировка и доказательство теоремы, тесно связанной с теоремой Бореля о конечном покрытии. Она в неявном виде восходит к Вейер-штрассу (1880 г.), но явно ее ввел и указал на ряд ее применений Пинкерле в 1882 г. Впоследствии она нередко применялась в рассуждениях. Ему же принадлежат понятия равномерной ограниченности семейства функций на интервале и в точке (1882 г.) и одно из обобщений понятия сходимости в среднем (1913 г.).
Не определяющими в творчестве Пеано являются его теоретико-функциональные изыскания. Они, однако, занимают гораздо большее место в его трудах, да и значительно существеннее для развития теории функций. Укажем наиболее важные, на наш взгляд, его достижения. Среди них прежде всего выделяется его мероопределение (1887 г.), известное под наименованием мероопределения Пеано — Жордана, нередко связывавшееся только с именем последнего, хотя Жордан ввел его лишь через пять лет и не внес в это определение принципиально новых моментов.
Чрезвычайно интересной, хотя, быть может, и преждевременной, была попытка Пеано (1877 г.) начать общее изучение функций множества. Его подход был в некоторых отношениях значительно шире, чем подход Лебега (1910 г.), однако вследствие керазвитости теоретико-множественных и теоретико-функциональных представлений он не сумел заложить прочные основы новой области математических знаний. Все же в его несколько неопределенных соображениях можно усмотреть довольно отчетливое предвосхищение многих последующих идей теории функций множеств, в частности идей дифференцирования одной функции множества по другой и интеграла Лебега — Стильтеса.
