Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Большое внимание, конечно, уделялось и парадоксам теории множеств: Пеано (1906 г.), Леви (1908, 1949 гг.), Энрикес
15?
(1917 г.), Кассина (1936 г.) и др. Как и французы, они не получили сколько-нибудь существенных результатов, но отдельные соображения итальянцев небезынтересны.
Мы перечислили далеко не все не только направления исследований, но даже самые существенные результаты работ итальянских математиков второго периода развития теории функций в Италии. Весь этот период характеризуется сильнейшим влиянием французских работ. В качестве примера длительного воздействия последних можно привести книгу Сансоне «Лекции по теории функций действительного переменного», вышедшую в 1952 г., в которой это влияние ощутимо весьма сильно. В рамках отмеченного воздействия находились многие из еще не упоминавшихся направлений исследований или отдельные теоретико-функциональные результаты, из которых мы коротко скажем еще о следующих. Итальянские математики изучали условия почленного дифференцирования функциональных рядов: Фубини (1915 г.), Тонелли (1916 г.); проблему представления функций нескольких переменных полиномами Чебышева: Тонелли (1907 г.), Сибирани (1909, 1916 гг.). Особо следует отметить цикл изысканий Тонелли по теории поверхностей, в которых он отправлялся от определения площади поверхности, предложенного Лебегом, в связи с чем он ввел, в частности, еще одно определение понятия функции с ограниченным изменением, когда число переменных равно двум и более (1926 г.), а также введение Пиконе понятия обобщенного предела или предела по фильтру (1923 г.), независимо от Шатуновского, Мура и Смита; последнее понятие затем широко применялось соотечественниками Пиконе, особенно Качьопполи. Упомянем еще результаты Нал-ли (1911 г.) относительно необходимых и достаточных условий того, чтобы замкнутая кривая Шёнфлиса была кривой Жорда-на; Тонелли о спрямляемости кривых (1908 г. и др.); Тонелли н Фубини о смешанной производной двойного интеграла Лебега; Тонелли о существовании верхнего интеграла Бёркила (1922 г.) еще до введения последним своего интеграла (1924 г.); Витали о функциях с ограниченным изменением (1924 г.).
Видимо, с работ Ренато Качьопполи (1904—1959) можно датировать начало третьего периода развития теории функций в Италии, характеризуемого привлечением в теорию функций идей н методов функционального анализа, топологии и абстрактной алгебры. На нем мы останавливаться не будем.
В заключение настоящего параграфа немного о попытках итальянцев вырваться за рамки концепций французских ученых. Это мы проиллюстрируем на примере двух работ — «Об определении интеграла» Леви и «О понятии интеграла» Тонелли, вышедших одновременно в 1924 г.
Одной из основных концепций лебеговской теории интегрирования является концепция измеримости множества, на котором задана функция, и функции, подлежащей интегрированию.
157
Эта измеримость явно или неявно присутствует во всех более или менее тонких соображениях, используемых при изложении лебеговской теории. Даже в тех подходах Лебега к понятию интеграла, в которых, на первый взгляд, она незаметна, при более тщательном рассмотрении она всплывает наружу. Так, в своем дескриптивном определении интеграла 1904 г. [13, с. 98] 10 Лебег отправляется от произвольной ограниченной функции и формулирует дескриптивные свойства интеграла вроде без обращения к идее измеримости. Однако уже на следующей странице он вводит множества E[a<f (х) <?] и рассуждает о них, как сб измеримых множествах, а сам интеграл оказывается соотнесенным только к измеримым ограниченным функциям; в частности, утверждавшаяся Лебегом идентичность между его дескриптивным и конструктивным определениями интеграла от ограниченной функции получалась у него только при неявном предположении ее измеримости. Если в 1904 г., когда аксиома Цермело еще не всплыла на поверхность, Лебег и имел некоторое право отождествлять измеримые ограниченные и просто ограниченные функции, то после полемики 1905 г., когда более или менее выявилось значение аксиомы произвольного выбора, особенно когда определилась позиция Лебега в отношении этой аксиомы, такой скачок мысли был явной непоследовательностью и. Между тем он и после полемики старательно «не замечал» этой непоследовательности; даже в 1928 г. во втором издании своих лекций об .интегрировании [40, с. 91—95] он не говорит об этом ни слова, хотя и отмечает установление Банахом независимости условий проблемы интегрирования, который явно пользовался для этой цели аксиомой выбора.
Как Леви, так и Тонелли занимали в отношении аксиомы Цермело примерно ту же позицию, что и Лебег, видимо, не без влияния последнего. Оба они заметили указанную непоследовательность и поставили перед собой задачу построить теорию интегрирования, не обращающуюся к теории меры, но такую, чтобы численные значения интегралов, получаемых их методами, оказывались идентичными с численными значениями, получаемыми по методу Лебега И Леви, и Тонелли подчеркивали большую, по сравнению с лебеговской, простоту их теорий, отсутствие в них многих дидактических и логических трудностей, связанных с обычным изложением вопроса об интегрировании в форме Лебега, видимо, втайне надеясь на вытеснение лебеговской теории предложенными ими. Здесь не место останавливаться на последних. Но определенно можно сказать, что замыслы
