Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Велика роль кривой Пеано, заполняющей квадрат (1890 г.); помимо существенного обогащения представлений о кривой, бытовавших до этого, помимо новых примеров нигде не дифференцируемых функций 3, эта кривая, устанавливающая непрерывное в одном направлении соответствие между точками квадрата и точками прямолинейного отрезка, применялась затем во многих
8 Функции, задающие параметрическое представление кривой Пеано, нигде не дифференцируемы.
148
теоретико-функциональных рассуждениях; пользовался ею, как указывалось (с. 41), и Лебег.
Вместе с Асколи Пеано принадлежит заслуга установления определения интеграла Римана через совпадение граней интегральных сумм; к этому вопросу он обращался неоднократно (1883, 1893, 1895 гг.) и довел указанное определение, в некотором смысле, до окончательного завершения, высвободив его от предельных соображений, имевшихся в подходах других математиков.
Изучал Пеано возрастающие функции со всюду плотным множеством точек разрыва (1892 г.), предложил своеобразное определение производной в виде предела (1892 г.)
х,-*х Хг — Xi х,~*х
занимался выяснением идей предела и граней множества (1892, 1912 гг. и др.), вносил уточнения в доказательства ряда теорем о производных и дифференциалах (1884, 1890, 1912 гг. и др.), дал одно из доказательств теоремы эквивалентности теории множеств (1906 г.)
Исторически интересен факт, что Пеано, столкнувшись в 1890 г. с необходимостью применения аксиомы произвольного выбора при рассмотрении проблемы интегрируемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений, усомнился в возможности применения бесконечного числа произвольных выборов элементов в множествах заданного семейства и потребовал некоторых ограничений на характер выбора. Возвратившись позднее (1905—1906 гг.) к этой аксиоме после ознакомления с полемикой французов о ней, он, во-первых, наметил программу устранения ее из тех рассуждений, где это возможно, а во-вторых, привел примеры рассуждений, в которых такое устранение затруднительно (например, в теореме, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество); предложения, установленные при помощи рассуждений второго типа, он считал не доказанными с необходимой математической строгостью.
Во многих своих работах Пеано обращался к общему понятию функции. Кульминационным пунктом этих обращений явилась его статья «Об определении функции» (1911 г.), в которой предложено становящееся все более и более обиходным общее определение функции как однозначного бинарного отношения в декартовом произведении двух абстрактных множеств.
Нельзя не упомянуть здесь о грандиозном «Математическом формуляре» («Formulario matematica»), написанном Пеано и его сотрудниками и неоднократно издававшемся на рубеже XIX— XX вв. Этот чрезвычайно трудно читаемый труд еще ожидает своих исследователей, и можно полагать, что в нем содержатся многие интересные теоретико-функциональные идеи.
149
Вольтерра лишь дебютировал в пауке работами по теории функций действительного переменного. Затем он перешел в другие области математики и математического естествознания, за-еявшись главным образом теорией интегральных и интегро-диф-ференциальных уравнений, а также функциональным анализом. Но и его дебют (на двадцать первом году жизни) оставил прочный след в истории рассматриваемой нами дисциплины.
Он, независимо от Смита, построил пример совершенного нигде не плотного множества положительной меры и опроверг утверждение Ганкеля об интегрируемости по Рішану ограниченной точечно разрывной функции; независимо ввел верхние и нижние интегралы Римана и изучил ряд их свойств; доказал при некоторых ограничениях теорему Дюбуа-Реймона об интегрируемости суперпозиции непрерывной и интегрируемой функции; решил вопрос, поставленный Дини (1878 г.), о соотношении простой равномерной сходимости на интервале и обобщенной равномерной сходимости (в смысле Дини), построив пример функционального ряда, сходящегося во втором смысле и не сходящегося в первом. Интересовался Вольтерра теорией функций и в более поздний период своей деятельности. Так, в 1899 г. он доказал (но не опубликовал) теорему, что если f(i) —функция одного действительного переменного класса п по классификации Бэра, то существует функция ф(*і, хг, хп), непрерывная по каждому из переменных в отдельности и такая, что q>(t,t,...,t) совпадает с J(t). Об этом свойстве знали Бэр и Лебег4. Кроме того, он построил первый эффективный пример функции третьего класса (тоже не опубликовав его) 5. Наиболее значительным его достижением в теории функций явилось, по-видимому, построение им в 1881 г. примера ограниченной производной, не-интегрируемой в смысле Римана, что явилось сильным стимулом для пересмотра распространенного в XIX в. определения этого интеграла как разности значений примитивной, для переосмысливания соотношений между операциями дифференцирования и интегрирования, а особенно для поисков новых определений понятия интеграла.
Свое определение понятия функции Дедекинд предложил, без сомнения, вне связи с функциональным анализом. Но почти одновременное введение Вольтеррой понятия функционала (1887 г.) и глубокое его изучение было, по-видимому, немаловажным фактором в осознании математиками определения Де-декинда, в его принятии и распространении. Кстати, аналогичное замечание следовало бы сделать и о понятии оператора, глубоко изученного Пинкерле почти в то же время.
