Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Еще в 1823 г. Коши предложил понятие интеграла в смысле главного значения. Математики XIX в. встретили это понятие в основном недоверчиво, и против него возражали Риман, Томе, Кронекер, Шлефли и др., а в наиболее распространенных трактатах по анализу (Жордана, Штольца, Гарнака и др.) о нем попросту не упоминалось13. Одной из тем первых исследований Харди по теории функций и явилось изучение понятия интеграла в смысле главного значения по Коши. В цикле работ 1901—1909 гг. он разработал детальную теорию этого интегра-
11 Этого нельзя сказать о книге Дини по теории функций, где оно использовалось.
162
ла, сначала отправляясь от определения интеграла по Риману, а затем и по Лебегу. Интегрирование в смысле главного значения сделалось с тех пор важным орудием изучения свойств функций и функциональных рядов, особенно тригонометрических, и его*применения все расширяются.
Проблема почленного интегрирования рядов, особенно деликатная в случае римановского интегрирования, заняла большое место в первых работах английских аналистов (Гобсон, У. Г. Юнг и др.). Наиболее существенные результаты по ней в XIX в. получил Арцела, но его результаты англичане первоначально не знали. Гобсон в 1901 г., приступая к этой проблеме, отправлялся от работы Осгуда 1897 г., но привлек для этой цели соображения Бэра о точечно разрывных функциях, благодаря чему ему удалось обобщить некоторые результаты Осгуда. Но к 1904 г. У. Г. Юнг и Гобсон ознакомились с важным мемуаром Арцела 1899—1900 гг., и теперь сочетание идей Осгуда, Бэра, Арцела, применение теоремы Бореля о конечном покрытии, незадолго до этого обобщенной У. Г. Юнгом (1902 г.) на нечетные покрытия 14, позволило и У. Г. Юнгу, и Гобсону получить ряд интересных результатов не столько по самой проблеме почленного интегрирования, сколько в изучении разных видов равномерной сходимости рядов (введение и изучение У. Г. Юнгом равномерной сходимости функционального ряда в точке, установление Гобсоном связи между обыкновенной и обобщенной равномерной сходимостями и т. д.).
В первом десятилетии XX в. многие английские математики заинтересовались трансфинитными числами. В их изучение включились Уайтхэд (1902—1904 гг.), Рассел (1902, 1903, 1906 гг.), Харди (1903, 1904, 1907 гг.), Журден (1904, 1905, 1907, 1908 гг.), Гобсон (1905, 1907 гг.) и др. Характер их работ довольно разнообразен — от построения Харди примера точечного множества мощности (1903 г.) до анализа связи трансфинитных чисел с теорией отношений математической логики (Рассел, 1906 г.). Несколько слов о последнем вопросе.
Явное установление связи теории вполне упорядоченных множеств и трансфинитных чисел с теорией отношений восходит к Шредеру (1895 г.). В конце прошлого столетия главным образом итальянские авторы (Виванти, Вайлати, Бурали-Форти) переложили канторовскую теорию вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел на символический язык Пеано. Получилась очень сложная система, малодоступная не только для дальнейшего изучения, но и даже для овладения ею. Рассел, занимаясь в начале века теорией отношений и находясь под сильным влиянием Пеано, поставил перед собой задачу упростить соображения названных авторов: развить теорию вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел как частный случай теории отно-
14 У. Г. Юнг предложил это обобщение раньше Лебега.
163
шений, выраженной в символике Пеано («Общая теория вполне упорядоченных рядов», 1906 г.).
Три приведенных примера показывают, что в самом начале столетия английские математики входили в теорию множеств и функций в значительной мере независимо от идей* развивавшихся тогда французами. Но вскоре влияние последних начинает сказываться все сильнее. Особенно это заметно в теории меры и интеграла, и это мы осветим несколько подробнее.
У. Г. Юнг был знаком с борелевским мероопределением (1898 г.). Как говорилось (с. 55), Борель сформулировал его тогда очень кратко и почти не воспользовался им; У. Г. Юнга оно не удовлетворило, поэтому с 1902 г. он начал разрабатывать собственную теорию меры15. В 1902—1904 гг. ему удалось построить теорию меры, эквивалентную лебеговской и основанную на определении меры точечного множества как общего значения верхней грани мер замкнутых его подмножеств и нижней грани открытых множеств, содержащих его. Следует, однако подчеркнуть, что к 1904 г. У. Г. Юнг ознакомился с работой Ле бега [8], и именно она натолкнула его на окончательную форму определения понятия меры.
Аналогичная ситуация сложилась и в случае интеграла. Начинал У. Г. Юнг независимо от Лебега, вплотную подошел к понятию интеграла, эквивалентного лебеговскому, но опять-таки окончательный толчок юнговским формам определения дали соображения Лебега. Заметим, кстати, что один из юнгов-ских Способов определения — через совпадение граней интегральных сумм — оказался, в отличие от многих других подходов, довольно плодотворным в теории интегрирования. Он являлся развитием асколи-пеановского подхода к определению интеграла Римана, но сам У. Г. Юнг этого, кажется, не осознавал. Начиная с этих юнговских работ 1905 г. по теории интеграла, между французскими и английскими математиками происходило как бы своеобразное соревнование по развитию новых концепций интегрирования, по их углублению и обогащению.
