Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве проблем метрической теории функций множество меры нуль выполняет роль некоего нерасчлененного целого, которым можно пренебречь, а потому оно неинтересно для изучения. Однако само по себе это понятие очень важно в теории функций и играет в ней фундаментальную роль: достаточно вспомнить, что множествами меры нуль являются такие обиходные множества, как множества рациональных и алгебраических чисел или множества единственности в теории тригонометрических рядов. Так что проблема изучения множеств меры нуль представляет немаловажный математический интерес.
Общее понятие множества меры нуль как точечного множества, все точки которого можно заключить в конечное или счетное множество интервалов со сколь угодно малой общей длиной, площадью или объемом, Борель ввел в 1898 г. В этом определении заранее ничего не предполагается о мощности множества; фактически оно может быть конечным, счетным в самом общем смысле этого слова, даже несчетным. Мало в нем ограничивается и характер покрытия множества интервалами: множество этих интервалов может быть любым счетным множеством, лишь бы их суммарная протяженность была меньше любого наперед заданного положительного числа.
Уже в 1908 г. он, как мы говорили (с. 130), пришел к убеждению, что законными в математике являются только эффективно перечислимые (не более, чем счетные) множества. Казалось бы, что теперь ему остается отвергнуть свое прежнее понятие множества меры нуль, перестроив его так, чтобы, во-первых, оно относилось только к эффективно перечислимым множествам, а, во-вторых, чтобы множества интервалов, заключающих точки множества, тоже были эффективно перечислимыми. В работе [46] он и наметил некую перестройку, но далеко не столь радикальную.
136
Отправляется Борель от первоначального, так сказать классического, определения понятия множества меры нуль. Затем выбирает перечислимое точечное множество, точки которого называет фундаментальными, и с его помощью строит понятие регулярного множества, заботясь о том, чтобы точки этого множества были покрыты некоторым множеством квадратов53, которые можно пронумеровать вполне определенным образом и общая площадь которых сколь угодно" мала. В соответствии с исходным определением построенное регулярное множество оказывается имеющим нулевую меру, что Борель мимоходом и отмечает (с. 2). Затем при помощи довольно нудного рассуждения (с. 2—4) доказывается, что всякое множество меры нуль в классическом смысле содержится в некотором регулярном множестве. Тем самым регулярное множество выступает в некотором смысле эрзацем обычного множества меры нуль.
Вообще-то, если быть до конца последовательным, нужно было совсем забыть о первоначальном определении, так как в нем участвуют произвольные счетные и несчетные множества. Но Борель, как мы говорили (с. 109), считал, что подобные соображения не очень опасны и могут рассматриваться как удобные эвристические приемы. Поэтому некоторую непоследовательность, допускаемую здесь Борелем, можно оправдать желанием сохранить прежние достижения, лишь переформулировав их на ином математическом языке. Впрочем, сохранение старых представлений все же сыграло с Борелем неприятную шутку. Доказав, что для произвольного множества А меры нуль существует регулярное множество Е, содержащее его, он замечает, что оно не единственно и не обязательно является самым простым, а затем пишет любопытную фразу: «Тогда без противоречия можно рассмот реть множество всех [выделено нами.— Ф. M.] регулярных множеств меры нуль, которые содержат А, и в этом множестве можно выбрать если не самое простое (которое может не существовать так же, как не существует наименьшего рационального числа, большего У2), то, по крайней мере, множество Е, простота которого сколь угодно близка к простоте самого простого из возможных» (с. 5). Не говоря уже о том, что Борель никак не поясняет здесь, что он понимает под простотой регулярного множества и что это за «самое простое регулярное множество», сам факт указания на множество всех регулярных множеств, содержащих заданное множество А, не согласуется с общей целью Бореля: а вдруг это множество регулярных множеств окажется нерегулярным?
Если все же отбросить все это то дальнейшее изложение вызывает еще больше недоумений. В последующей части работы
53 Борель рассматривает случай плоских множеств; в детали его построений мы входить не будем.
54 Можно было бы привести и другие более мелкие непоследовательности, на чем мы не будем останавливаться,
137
Борель занимается только регулярными множествами. Казалось бы, что поводов для обращения к произвольным счетным, а тем более несчетным множествам теперь у него не имеется. Регулярное множество полностью определяется фундаментальными точками, образующими перечислимое множество. Но как только он переходит к изучению фундаментальных точек, так сразу же привлекает общее понятие производного множества, замкнутого множества и даже теорему Кантора — Бендиксона о представлении замкнутого множества в виде суммы совершенного и не более, чем счетного, множеств; при этом он прямо заявляет: «По-настоящему интересная часть регулярного множества меры нуль — это та, которая связана с точками множества А', образующими совершенное множество» (с. 5). Если вспомнить, что непустое совершенное множество имеет мощность континуум, что теорема Кантора — Бендиксона доказывалась с помощью всех трансфинитных чисел второго класса, и принять во внимание, что Борель в [46] не сделал даже попытки перевести все это на свой язык, то от последующего содержания его работы мало что остается в смысле реализации его основного замысла — тем более что дальше (с. 8) он пользуется аксиомой произвольного выбора, правда, указывая на возможность ее ограничения в избранном им направлении, но не осуществив этого на деле.
