Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лишь несколько подробнее, но совершенно в том же плане Адамар [6, с. 271] высказался по поводу парадоксов теории множеств в цитировавшейся выше переписке с Борелем, Бэром и Лебегом, а Борель [32, с. 273i] просто согласился с мнением Адамара в связи с антиномией множества всех множеств. Бэр, кажется, вообще не высказывал своего мнения относительно парадоксов теории множеств; Лебег в рассматриваемый промежуток времени высказался о них, по-видимому, только один раз [28, с 211, 212] в том смысле, что понятия, при помощи которых строятся парадоксы, плохо определены
41 Напомним, что Пуанкаре придал непредикативности этот смысл в 1906 г., опираясь как раз на приведенное соображение Ришара.
42 Адамар присутствовал на этом конгрессе; к тому же перевод доклада Гильберта иа французский язык появился в мартовском номере «L'Enseignement malhematiqne», на который ссылается Адамар
43 К некоторым другим соображениям Адамара и Бореля мы возвратимся несколько далее.
124
Основное о взглядах Пуанкаре на парадоксы теории множеств и математической логики мы сказали в предыдущем параграфе: он отказал в праве на существование в математике понятию актуальной бесконечности, а все рассматриваемые парадоксы связаны с ним, поэтому они для него просто не должны существовать. Обсуждение же им этих парадоксов связано, главным образом, с критикой сторонников актуальной бесконечности. Обратимся к этому несколько подробнее.
В 1905 г. Пуанкаре [4], выступив против математической логики вообще, в частности указал (с. 11 —14) на парадокс Бурали-Форти как на' пример, подтверждающий бессилыюсть ее. Он привел здесь мнение Адамара, что рассуждение Бурали-Форти небезупречно и что тот не имел права говорить о множестве всех порядковых чисел. Пуанкаре согласился с этим мнением (с. 13, 14).
Сопоставляя затем точки зрения Рассела и Гильберта, Пуанкаре [4, с. 30—32] выражает несогласие с Расселом в том, что переменное X в пропозициональной функции ц>{х) у последнего является «абсолютно неопределенным», что вместо X можно подставлять «не только уже известные объекты, но все, что угодно» (с. 31). Напротив, ему больше импонирует точка зрения Гильберта, который в своем гейдельбергском докладе высказался за то, чтобы — если воспользоваться языком Рассела — в качестве значений X пропозициональной функции допускать только объекты или комбинации объектов, которые или приняты за основные, исходные, неопределяемые, либо полностью определены". И источник парадокса Бурали-Форти он видит как раз в том, что его автор не выполнил требования Гильберта относительно предварительной определенности элементов рассматриваемого им множества всех порядковых чисел.
В ответ на это Кутюра заметил [2, с. 82—85], что обвинение математической логики в бессилии из-за того, что она не помогла разрешить парадоксы, несправедливо, ибо «логисты не обязаны решать трудности, которые приводят в тупик всех математиков» (с. 85) и что, напротив, он видит ее достоинство в том, что она помогла обнаружить сам этот парадокс46. Для него парадокс Бурали-Форти представляется чисто логической трудностью, «коренящейся в принципе логики классов» (с. 83), и если разные ученые приходят к противоречащим заключениям, то это происходит не потому, что один из них ошибается, как полагал Пуанкаре, а потому, что они столкнулись с антиномией в самих этих
41 Гильберт говорит не о значениях переменной у пропозициональной функции, а о встречающихся в аксиомах рассматриваемой аксиоматической системы понятиях «произвольный», «каждый», «все» [1, с 333] Пуанкаре считает это одним и тем же
45 Мемуар Бурали-Форти, в котором устанавливалась названная антиномия, написан на символическом языке Пеано. Как мы говорили в начале параграфа, эту антиномию открыл и Кантор, не пользуясь языком символической логики
125
принципах (с. 84, сноска). Разрешение этой антиномии Кутюра, присоединяясь к мнению Бурали-Форти и Рассела, видит в ограничении понятия класса или даже вообще в отказе от него (с. 84).
Пуанкаре в связи с этим утверждает [4, с. 118—119], что поскольку логисты претендуют на то, чтобы дать безупречные правила умозаключений, то они не имеют права ошибаться. И если они приходят к противоречивым заключениям, то их аппарат негоден, он требует коренной перестройки: «Логистика существует, у нее есть свой свод условных законов, который выдержал уже четыре издания или, правильнее, этот свод и есть сама логистика. Собирается ли г. Рассел показать, что, по крайней мере, одно из двух противоречивых рассуждений погрешает против логистического свода? Вовсе нет, он собирается изменить законы свода и даже вовсе упразднить некоторые из них. Если он преуспеет, я воздам должное интуиции г. Рассела, но не пеа-нийской логистике, которую он разрушает» (с. 119).
Все же в то, что удастся перестроить теорию множеств и математическую логику так, что в них не появлялись бы антиномии, Пуанкаре не верит (с. 134). Выход из теоретико-множественных и логических противоречий, по его мнению, заключается в отказе от использования непредикативпых рассуждений [4, с. 134, 135; 6, с. 74;].
